Всего: 51 1–20 | 21–40 | 41–51
Добавить в вариант
Докажите неравенство 
для всех 
В правой части по формуле синуса суммы имеем
К левой части применим формулу косинуса двойного угла
здесь мы учли, что 
при 
Тогда исходное неравенство запишется в виде
Домножив это неравенство на положительное число 
получим равносильное неравенство
При 
последнее неравенство верно (оно принимает вид 
а при 
поделим его на 
и получим равносильное неравенство 
которое очевидно (так как 
Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
Поделим левую и правую части уравнения на
Пусть
тогда
а уравнение приобретает вид
или 
Решениями этого уравнения является совокупность
To есть
Поскольку 
то наибольшими отрицательными корнями серий из совокупности являются числа
и 
Осталось сравнить x1 и x2. Для этого заметим, что
Ответ: 
где 
Комментарий 1.
В зависимости от выбора способа решения и обратной тригонометрической функции ответ может иметь разный вид. Приведём ещё несколько способов описать α и β:
Например, ответ можно переписать в виде
Для удобства проверки в ответе приведено приблизительное значение выражения. От участников этого, естественно, не требовалось.
Комментарий 2.
Ответ можно упростить до одной обратной тригонометрической функции. Действительно, если 
то
откуда, поскольку 
получаем, что ответ равен 
От участников подобного упрощения не требовалось.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
где Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
Поделим левую и правую части уравнения на
Пусть 
и 
тогда
а уравнение приобретает вид
или 
Решениями этого уравнения является совокупность
то есть
Поскольку то наибольшими отрицательными корнями серий из совокупности являются числа
и 
Осталось сравнить x1 и x2. Для этого заметим, что
(каждый из множителей слева больше соответствующего множителя справа и все четыре положительны), откуда 
Ответ: 
где 
Комментарий 1.
В зависимости от выбора способа решения и обратной тригонометрической функции ответ может иметь разный вид. Приведём ещё несколько способов описать α и β:
Например, ответ можно переписать в виде
Для удобства проверки в ответе приведено приблизительное значение выражения. От участников этого, естественно, не требовалось.
Комментарий 2.
Ответ можно упростить до одной обратной тригонометрической функции. Действительно, если
то
откуда, поскольку 
получаем, что ответ равен 
От участников подобного упрощения не требовалось.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
где Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2019 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Вычислите
Из формулы
выразим произведение тангенсов:
Тогда
Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2021 получаем, что выражение из условия равно
Заметим, что
а значит (*) равняется −2021.
Ответ: −2021.
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Вычислите 
Обозначим 
через α, 
через β. Заметим, что 
тогда
откуда 
также 
где 
Находим:
Наконец, поскольку 
и 
то 
Значит, 
Ответ: π.
Приведем другое решение.
Отметим на координатной плоскости точки
Поскольку угловой коэффициент прямой OB равняется 
а прямой 
получаем, что 
B треугольнике OAB: 
значит, 
В треугольнике OBC: 
значит, 
В треугольнике OCD: 
значит, 
Таким образом,
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа 
и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через α и 
через β. Заметим, что 
a
откуда 
также 
Находим:
Наконец, поскольку и 
то 
Значит,
Ответ: π.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через 
через 
Заметим, что
а 
откуда 
также 
Находим:
то 
Ответ: 
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа 
и т. п. — не выше «∓».
Вычислите 
Обозначим 
через 
через Заметим, что
а 
откуда 
также 
Находим:
то 
Значит,
Ответ:
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
Используются неверные основные тригонометрические формулы — не выше «∓».
Вместо одного числа получен ответ типа и т. п. — не выше «∓».
Известно, что единственным решением уравнения
Рассмотрим уравнение:
Пусть 
Теперь
и
Отсюда имеем 
Ответ: 2016.
Вычислить
если α, β, γ — углы треугольника.
Обозначим
Тогда
Ответ: 0.
Укажите, при каких значениях параметра a уравнение имеет решение:
Для упрощения исследования введем
при 
уравнение примет вид:
откуда следует:
то есть
Данное уравнение может иметь решение при
но не все значения параметра a, удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку
и, следовательно,
Заметим, что 
следовательно,
Выделяя 
на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при
имеем 
Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если
Ответ: 
Пусть α, β, γ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что 
По формуле приведения имеем
Так как 
то 
и 
По формуле косинус суммы имеем
что и требовалось доказать.
Приведем другое решение.
Пусть 
Пусть A1, B1, C1 основания высот, проведённых из вершин треугольника A, B, C соответственно. Заметим, что
С другой стороны,
откуда 
ч. т. д.
Существует ли треугольник с углами A, B и C, для которых 
Построим треугольник ABC, у которого тангенсы углов A и B равны 1 и 2 соответственно. Треугольник с этими углами легко нарисовать на клетчатой бумаге. Для этого возьмем точки A, B и C с координатами (0; 0), (3; 0), (2; 2) соответственно, при этом 
и 
Тангенс угла C подсчитаем по формуле суммы тангенсов:
то есть требуемый треугольник действительно существует.
Ответ: да, существует.
Комментарии.
Для тангенсов углов произвольного непрямоугольного треугольника значения тангенсов удовлетворяют этому равенству.
Только ответ — 0 баллов.
Указано, что значение тангенса одного из углов выражается через тангенсы двух других (без описания построения треугольника ABC) — 10 баллов.
Полное решение — 25 баллов.
Что больше: 
или 
Преобразуем левое выражение:
Ответ: второе число больше.
Приведем другое решение.
Преобразуем левое выражение:
Используя равенства 
и 
получаем
Заметим, что
Решите уравнение
Найдите сумму всех корней на промежутке A, округлив при необходимости до целого числа. Если корней нет или и на этом промежутке бесконечно много, в ответе запишите цифру 0.
Справедливо
и
Следовательно,
Решая квадратные (относительно переменной 
уравнения 
и 
приходим 
Ответ: на множестве 
сумма корней равна 
Приведем другое решение.
Как легко заметить, на множестве 
решений нет. Рассмотрим все остальные значения 
Уравнение равносильно:
Решим уравнение
Исходное уравнение на множестве 
равносильно
сумма корней равна Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством
По области определения 
Так как 
то 
Ответ: 4.
Решите уравнение 
Уравнение равносильно
Ответ: 
Решить неравенство:
Преобразуем правую часть уравнения
Обозначим 
тогда исходное неравенство перепишется в виде
Решениями этого неравенства являются t: 
В результате приходим к неравенству
Разделим обе части полученного неравенства на 
получим
и перепишем его в виде
Его решения
откуда находим
Ответ: 
Найдите значения дробей
и 
если числа α, β и γ таковы, что 
Так как
то
Из равенств 
и 
находим 
и 
Ответ: 
| Критерии | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью. | + | 12 |
Ответ получен только для частного случая (например, когда  | ∓ | 4 |
Наверх