Известно, что число является корнем уравнения Найдите остальные четыре корня этого уравнения. (Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т. п.).
Решение.
Замена Уравнение примет вид:
Преобразуем левую часть:
Окончательно, Отсюда
Поскольку у первоначального уравнения ровно пять действительных корней (по условию), то, чтоб их предъявить, достаточно взять какие-нибудь пять значений косинусы которых различны. Например,
Найдите все возможные значения если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Решение.
Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:
Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:
Из первой системы получаем
Далее имеем
В первом случае не существует, а во втором случае
При каком минимальном значении параметра a уравнение
имеет более двух корней на интервале Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.
Решим полученное квадратное уравнение, для этого найдем дискриминант так как он всегда положителен, то произведение полученных двух косинусов отрицательно. Проверим выполнение неравенств:
то есть
Следовательно, когда параметр a рассматривается на отрезке [−1, 1] уравнение относительно косинуса имеет 2 различных корня (разных знаков). При этом на интервале будет находиться 4 корня, если
При только три корня лежат в указанном интервале
При значениях параметра меньше −1 существует только косинус, принимающий положительные значения, и исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет только Сумма полученных корней 3π.
Положим и Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем
Далее, аналогично, и После этого исходное уравнение запишется так: Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем
Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения u и v, удовлетворяющие хотя бы одному из равенств u = 1, или v = 1, или uv = 1 при условии (это относится только к первым двум равенствам)
Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности
Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений
Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения x, при которых
Решения уравнения в область определения не входят. Решениями уравнения являются k целое, то есть При k кратном 5 такие x принадлежат области определения, при остальных значениях k нет.
и 
и 
находим 
является корнем уравнения 
Найдите остальные четыре корня этого уравнения. (Ответы в задаче должны быть компактными выражениями, не содержащими знаков суммирования, многоточий и т. п.).
Уравнение примет вид: 
Отсюда 
косинусы которых различны. Например, 
где 
Выразите 
через c и s.
Осталось применить формулу универсальной подстановки 
через c и s.
если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.
Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства: 
не существует, а во втором случае 
или 
—
для каждого из значений 
—
и 
и 
находим 
и 
Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.
так как он всегда положителен, то 
произведение полученных двух косинусов отрицательно. Проверим выполнение неравенств: 
будет находиться 4 корня, если 
только три корня лежат в указанном интервале 
Сумма полученных корней 3π.
если 
и 
то 
Следовательно, 
делают вывод, что 
без ссылки на условие 
снимать 1 балл.
В заданный отрезок попадут корни 2021,5, 2023,5, 2025,5 и 2027,5. Их сумма равна 8098.
и 
Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем 
и 
После этого исходное уравнение запишется так: 
Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем 
в область определения не входят. Решениями уравнения 
являются 
k целое, то есть 
При k кратном 5 такие x принадлежат области определения, при остальных значениях k нет.
в область определения не входят. Если 
то 
поэтому решения уравнения 
в область определения также не входят.