РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4610 Добавить в вариант

Вычислите

$тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби умножить на тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 47 конец дроби плюс тангенс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 47 конец дроби умножить на тангенс дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 47 конец дроби плюс ... плюс тангенс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 47 конец дроби умножить на тангенс дробь: числитель: левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка Пи , знаменатель: 47 конец дроби плюс ... плюс тангенс дробь: числитель: 2021 Пи , знаменатель: 47 конец дроби умножить на тангенс дробь: числитель: 2022 Пи , знаменатель: 47 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Из формулы

$тангенс левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка = дробь: числитель: тангенс альфа минус тангенс бета , знаменатель: 1 плюс тангенс альфа умножить на тангенс бета конец дроби$

выразим произведение тангенсов:

$тангенс альфа умножить на тангенс бета = дробь: числитель: тангенс альфа минус тангенс бета , знаменатель: тангенс левая круглая скобка альфа минус бета правая круглая скобка конец дроби минус 1.$

Тогда

$тангенс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 47 конец дроби умножить на тангенс дробь: числитель: левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка Пи , знаменатель: 47 конец дроби = дробь: числитель: тангенс дробь: числитель: левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка Пи , знаменатель: 47 конец дроби минус тангенс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 47 конец дроби , знаменатель: тангенс левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка Пи , знаменатель: 47 конец дроби минус дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка конец дроби минус 1= левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка Пи , знаменатель: 47 конец дроби минус тангенс дробь: числитель: k Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 1.$

Складывая эти равенства для всех k от 1 до 2021 получаем, что выражение из условия равно

$левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: 2022 Пи , знаменатель: 47 конец дроби минус тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 2021. \qquad левая круглая скобка * правая круглая скобка$

Заметим, что

$тангенс дробь: числитель: 2022 Пи , знаменатель: 47 конец дроби = тангенс левая круглая скобка 43 Пи минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби правая круглая скобка = минус тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 47 конец дроби ,$

а значит (*) равняется −2021.

Ответ: −2021.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Верное решение без существенных недочетов	+
В целом задача решена, хотя и с недочетами	+ −
Задача не решена, но есть заметное продвижение	− +
Задача не решена, заметных продвижений нет	−
Задача не решалась	0

Аналоги к заданию № 4609: 4610 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений, Методы тригонометрии. Формулы произведения, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь