РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5724 Добавить в вариант

Пусть α, β, γ — углы остроугольного треугольника. Докажите, что $косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате гамма меньше 1.$

Спрятать решение

Решение.

По формуле приведения имеем

$косинус в квадрате гамма = косинус в квадрате левая круглая скобка 180 минус альфа минус бета правая круглая скобка = косинус в квадрате левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка .$

Так как $гамма меньше 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ то $альфа плюс бета больше 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и $косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка меньше 0.$ По формуле косинус суммы имеем

$косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка = косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс левая круглая скобка косинус альфа умножить на косинус бета минус синус альфа умножить на синус бета правая круглая скобка в квадрате =$
$= косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета плюс синус в квадрате альфа умножить на синус в квадрате бета минус 2 косинус альфа умножить на косинус бета умножить на синус альфа умножить на синус бета =$
$= косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета плюс левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате альфа правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате бета правая круглая скобка минус 2 косинус альфа умножить на косинус бета умножить на синус альфа умножить на синус бета =$
$=2 косинус в квадрате альфа умножить на косинус в квадрате бета минус 2 косинус альфа умножить на косинус бета умножить на синус альфа умножить на синус бета плюс 1=$
$=2 косинус альфа умножить на косинус бета левая круглая скобка косинус альфа умножить на косинус бета минус синус альфа умножить на синус бета правая круглая скобка плюс 1=2 косинус альфа умножить на косинус бета умножить на косинус левая круглая скобка альфа плюс бета правая круглая скобка плюс 1 меньше 1,$

что и требовалось доказать.

Приведем другое решение.

Пусть $\angle A= альфа ,$ $\angle B= бета ,$ $\angle C= гамма .$ Пусть A₁, B₁, C₁ основания высот, проведённых из вершин треугольника A, B, C соответственно. Заметим, что

$дробь: числитель: s_A B_1 c_1 плюс S_B A_1 C_1 плюс S_C A_1 B_1, знаменатель: S_A B C конец дроби меньше 1 .$

С другой стороны,

$дробь: числитель: s_A B_1 c_1 плюс S_B A_1 c_1 плюс S_C A_1 B_1, знаменатель: S_A B C конец дроби = дробь: числитель: A B_1 умножить на A C_1 умножить на синус альфа , знаменатель: A B умножить на A C умножить на синус альфа конец дроби плюс дробь: числитель: B A_1 умножить на B C_1 умножить на синус бета , знаменатель: B A умножить на B C умножить на синус бета конец дроби плюс дробь: числитель: C A_1 умножить на C B_1 умножить на синус гамма , знаменатель: C A умножить на C B умножить на синус гамма конец дроби = косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате гамма ,$

откуда $косинус в квадрате альфа плюс косинус в квадрате бета плюс косинус в квадрате гамма меньше 1 ,$ ч. т. д.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Методы геометрии. Метод площадей, метод объемов, Методы тригонометрии. Формулы приведения, периодичность, Методы тригонометрии. Формулы суммы и разности

Спрятать решение · Помощь