Найдите все значения параметров a и b, для которых неравенство
выполняется для всех значений
(Р. Алишев)
Решение.
Наибольшее значение функции на отрезке достигается в критических точках внутри отрезка или на концах. Тогда
критическими являются корни уравнения и В нуле и единице неравенство должно быть выполнено. Поэтому и Отсюда несложно получить следующие ограничения на a и b:
то есть Для корней уравнения исходное неравенство, очевидно, будет выполняться. Все допустимые значения параметров находим из решения системы:
Построим на плоскости все точки, удовлетворяющие каждому из неравенств. По абсциссе отложим значения параметра a, по ординате — параметра b.
Только точка входит в решение каждого из неравенств. Докажем более строго, что нет других решений системы
Если то из первого и третьего неравенства получим:
что невозможно. Если же то
что тоже не имеет решения. При из третьего неравенства сразу получим а затем со второго
Обозначим через u, через v. Заметим, что Исследуем поведение функции при а именно, покажем, что она монотонна на этом луче. Для этого достаточно показать, что её производная знакопостояннна нём. Получим
Покажем, что
при Действительно,
Значит, при
Функция f монотонна и следовательно, то есть то есть Нарисовав графики функций и легко понять, что чтобы было ровно три решения, необходимо либо, чтобы у них совпадали вершины, либо происходило касание. Первое происходит при второе при
Ответ: при −1;
Критерии проверки:
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок:
а) «+», «±» — задача скорее решена;
б) «∓», «−» — задача скорее не решена;
в) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач - задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Оценки по задачам имеются в таблице в личном кабинете участника. Оценки внутри работы и на титульном листе работы выставлены в процессе предварительной проверки и не являются основанием для апелляции.
Приведённые далее критерии описывают оценки продвижений и ошибок, встречающихся во многих работах. Поэтому они не подлежат изменению и могут быть использованы для апелляции только в случае, если вы укажете, что какое-то место в вашей работе, подходящее под один из этих критериев, оценено не в соответствии с ним.
Комментарий по оцениванию данной задачи
Без доказательства утверждается, что из следует a = b — не выше «∓».
Без доказательства утверждается, что из следует a = b — не выше «∓».
выполнено при всех значениях переменных x и y.
Решение.
Подставим в формулу из условия сначала и получим Затем подставим и откуда Наконец, положив и имеем Из двух последних равенств получаем откуда либо либо Из первого равенства тогда следует или
Убедимся, что найденные пары a и b удовлетворяют условию задачи. Например, если то
Если приведён верный ответ с проверкой: 2 балла. Только ответ: 0 баллов. Если отсутствует проверка того, что найденные кандидаты в ответы или удовлетворяют условию задачи: снимаем 2 балла.
Найдите все такие b, при которых для любого a система неравенств имеет решение.
Решение.
Решение очевидно с геометрической точки зрения. Решение первого неравенства — это объединение лучей которое будет пересекаться с отрезком длинной 2b (являющимся решением второго неравенства), если (то есть если этот отрезок не помещается в «щели» между двумя лучами — рисунок).
Найдите все значения параметра a, при которых корни x1 и x2 уравнения
удовлетворяют двойному неравенству
Решение.
Обозначим многочлен из условия задачи через f(x). Тогда в силу положительности коэффициента при условие задачи эквивалентно простому неравенству То есть,
Найдите все значения a, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно пустое) решений неравенства меньше 2.
Решение.
Неравенство равносильно такому
1) Если то получаем неравенство удовлетворяющее требованию задачи, когда отсюда
2) Если же то получаем неравенство удовлетворяющее требованию задачи, когда
Найдите все значения при которых существуют положительные решения x неравенства
Решение.
Введем обозначение Тогда исходное неравенство перепишется в виде
Но для выполняется неравенство причем равенство достигается при (это неравенство должно быть доказано в работе). Следовательно, в нашем случае получаем равенство
при Тогда Решая это уравнение, получаем тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
Найдите все значения при которых существуют положительные решения x неравенства
Решение.
Введем обозначение Тогда исходное неравенство перепишется в виде
Но для выполняется неравенство причем равенство достигается при (это неравенство должно быть доказано в работе).
Следовательно, в нашем случае получаем равенство
при Тогда Решая это уравнение, получаем тогда
Ответ:
Критерии проверки:
Баллы
Критерии оценивания
7
Полное обоснованное решение.
6
Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.
При каких a множество решений неравенства содержит все пары чисел для которых
Решение.
1. Случай Первому неравенству удовлетворяет единственная точка (0; 0), следовательно, ситуация, при которой решения второго неравенства (точки круга радиуса 1) содержатся в решениях первого неравенства, невозможна.
2. Случай Решениями первого неравенства являются точки кругов K1 и K2, где K1 — круг радиуса а с центром в точке O1 a K2 — круг радиуса a с центром в точке O2 Решениями второго неравенства являются точки круга K3 радиуса единицы с центром в точке O Условия задачи будут выполнены, если круг K3 окажется внутри круга K1. Эта ситуация реализуется, когда Получаем неравенство:
Число таково, что неравенства выполняются ровно при пяти натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполняться неравенства
Решение.
Ясно, что Полагая неравенства перепишем в виде а неравенства — в виде Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства
из них что
Таким образом, неравенствам обязательно удовлетворяет четвёрка чисел
и, возможно, одно или оба числа пары
Приведём три соответствующих примера. При имеем и
при число m равно 6 и выполняются неравенства
наконец, если то и
Ответ: четыре, пять или шесть.
Критерии проверки:
Критерии
Оценка
Баллы
Задача решена полностью.
+
14
Получен ответ «от четырёх до шести», но не показано, что эти три возможности реализуются.
±
9
Приведены все три соответствующих примера, но одна из границ (верхняя или нижняя) не доказана.
Число таково, что неравенства выполняются ровно при четырёх натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполнятся неравенства
Решение.
Полагая неравенства перепишем в виде а неравенства — в виде Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства
Из них следует, что
таким образом, неравенствам обязательно удовлетворяют числа 2m, и, возможно, одно или оба числа пары
Приведём три соответствующих примера. При имеем и
при число m также равно 4, но
наконец, при получается и
Ответ: три, четыре или пять.
Критерии проверки:
Критерии
Оценка
Баллы
Задача решена полностью.
+
14
Получен ответ «от трёх до пяти », но не показано, что эти три возможности реализуются.
±
9
Приведены три соответствующих примера, но доказана только одна из границ числа решений.
+/2
6
Приведены только примеры для 3, 4, 5 решений.
выполняется при всех x.
будет выполнено для всех x, если дискриминант квадратного уравнения 
меньше 0, то есть 
тогда
будет выполнено для всех x, если дискриминант квадратного уравнения 
меньше 0, то есть 
откуда
и наибольшее целое значение 
на отрезке 
достигается в критических точках внутри отрезка или на концах. Тогда
и 
В нуле и единице неравенство должно быть выполнено. Поэтому 
и 
Отсюда несложно получить следующие ограничения на a и b: 
Для корней уравнения 
входит в решение каждого из неравенств. Докажем более строго, что нет других решений системы 
то из первого и третьего неравенства получим: 
то 
из третьего неравенства сразу получим 
а затем со второго 
получим неравенство 
и принимает целые значения: −1, 0, 1, 2. 
Таким образом, получим неравенство: 
и принимает целые значения: −9, −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0.
через u, 
через v. Заметим, что 
Исследуем поведение функции 
при 
а именно, покажем, что она монотонна на этом луче. Для этого достаточно показать, что её производная знакопостояннна нём. Получим
Действительно, 
при 
следовательно, 
то есть 
то есть 
Нарисовав графики функций 
и 
легко понять, что чтобы было ровно три решения, необходимо либо, чтобы у них совпадали вершины, либо происходило касание. Первое происходит при 
второе при 
−1; 
следует a = b — не выше «∓».
следует a = b — не выше «∓».
и 
получим 
Затем подставим 
откуда 
Наконец, положив 
имеем 
Из двух последних равенств получаем 
откуда либо 
либо 
Из первого равенства тогда следует 
или 
то 
или 
всего четыре пары значений.
удовлетворяют условию задачи: снимаем 2 балла.
выполнено при всех значениях x. Докажите, что 
тогда ... и 
откуда 
имеет решение.
которое будет пересекаться с отрезком длинной 2b (являющимся решением второго неравенства), если 
(то есть если этот отрезок не помещается в «щели» между двумя лучами — рисунок).
условие задачи эквивалентно простому неравенству 
То есть, 
имеет решения, причем среди решений нет больших единицы.
Если 
то решений нет. Если 
то 
Если 
то 
и 
если 
и 
если 
Расстояние между корнями равно: 
или 
Решая это неравенство, получаем, что искомые n нужно выбирать среди чисел 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит два целых решения. 
отрезок решений неравенства [1; 3] содержит три целых решения.
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит три целых решения. 
отрезок решений неравенства 
содержит четыре целых решения.
меньше 2.
то получаем неравенство 
удовлетворяющее требованию задачи, 
отсюда 
то получаем неравенство 
удовлетворяющее требованию задачи, когда 
то есть 
то или 
и 
или 
и 
то есть 
то свободный член h(x) равен 
Поэтому
то есть 
и тогда 
решите неравенство 
решений нет, так как функция справ а отрицательна, а слева неотрицательна. При 
имеем 
Откуда 
и при 
есть одно решение 
решений нет, при 
при которых существуют положительные решения x неравенства
Тогда исходное неравенство перепишется в виде
выполняется неравенство причем равенство достигается при 
(это неравенство должно быть доказано в работе). Следовательно, в нашем случае получаем равенство
Тогда 
Решая это уравнение, получаем 
тогда 
Тогда исходное неравенство перепишется в виде
Тогда 
Решая это уравнение, получаем 
тогда 
содержит все пары чисел 
для которых 
Первому неравенству удовлетворяет единственная точка 
Решениями первого неравенства являются точки кругов K1 и K2, 
a K2 — круг радиуса a с центром в точке O2 
Решениями второго неравенства являются точки круга K3 радиуса единицы с центром в точке O 
Условия задачи будут выполнены, если круг K3 окажется внутри круга K1. Эта ситуация реализуется, когда 
Получаем неравенство: 
таково, что неравенства 
выполняются ровно при пяти натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполняться неравенства 
Полагая 
неравенства 
а неравенства 
—
Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства 
обязательно удовлетворяет четвёрка чисел 
имеем 
и 
число m равно 6 и выполняются неравенства 
то 
и 
таково, что неравенства 
выполняются ровно при четырёх натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполнятся неравенства 
неравенства 
а неравенства 
—
Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства
обязательно удовлетворяют числа 2m, 
и, возможно, одно или оба числа пары 
имеем 
и 
число m также равно 4, но
получается 