РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5188 Добавить в вариант

Найти все числа a и b, для которых равенство

$|ax плюс by| плюс |bx плюс ay|=|x| плюс |y|$

выполнено при всех значениях переменных x и y.

Спрятать решение

Решение.

Подставим в формулу из условия сначала $x=1$ и $y=0,$ получим $|a| плюс |b|=1.$ Затем подставим $x=1$ и $y=1,$ откуда $|a плюс b|=1.$ Наконец, положив $x=1$ и $y= минус 1,$ имеем $|a минус b|=1.$ Из двух последних равенств получаем $a плюс b=\pm левая круглая скобка a минус b правая круглая скобка ,$ откуда либо $a=0,$ либо $b=0.$ Из первого равенства тогда следует $a=\pm 1,$ $b=0$ или $a=0,$ $b=\pm 1.$

Убедимся, что найденные пары a и b удовлетворяют условию задачи. Например, если $a=1, b=0,$ то

$|a x плюс b y| плюс |b x плюс a y|=|a x| плюс |a y|=|a| левая круглая скобка |x| плюс |y| правая круглая скобка =|x| плюс |y|.$

Остальные варианты проверяются аналогично.

Ответ: $a=\pm 1,$ $b=0$ или $a=0,$ $b=\pm 1,$ всего четыре пары значений.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Если приведён верный ответ с проверкой: 2 балла. Только ответ: 0 баллов. Если отсутствует проверка того, что найденные кандидаты в ответы $a=\pm 1,$ $b=0$ или $a=0,$ $b=\pm 1$ удовлетворяют условию задачи: снимаем 2 балла.

Всесибирская олимпиада школьников, 10 класс, 1 тур (отборочный), 2019 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Линейные уравнения и неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь