Всего: 121 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–121
Добавить в вариант
если 
и для любого x выполняется равенство 
Получим: 
Дана пара взаимно-простых многочленов с действительными коэффициентами P(x) и Q(x) степеней 2021 и 2000 соответственно (взаимно-простые означает, что не существует многочлена R(x), не равного константе, на который делятся P(x) и Q(x)). Гриша выбирает конечное множество действительных чисел c1, ..., cn (помните, в множестве элементы не повторяются, размер множества Гриша тоже выбирает сам), находит число различных кратных действительных корней у многочлена P(x) + ciQ(x) (при i от 1 до n) и складывает полученные числа. Какую наибольшую сумму Гриша может получить в результате этого процесса?
обращается в ноль, причем каждое такое α может быть посчитано максимум для одно ci.
Пусть α — кратный корень 
имеем левую из систем:
что и 
то невозможно поскольку многочлены взаимно-просты. Если же 
то деление на него является равносильным переходом, а с однозначно находится из (*). Второй переход — просто поделили на Q(x). 
и Q(x) соответственно. Тогда коэффициент 
при 
есть 
непрерывна (все корни знаменателя правее), равна нулю в концах отрезка и не равна нулю в остальных точках, значит, в какой-то точке производная принимает нулевое значение по теореме Ролля — нашли 2020 нулей производной. Теперь посмотрим на интервалы между соседними корнями Q(x), и также на открытый луч от самого правого из них до плюс бесконечности. На каждом интервале функция непрерывна, не меняет знак (поскольку не принимает нулевого значения — все корни числителя лежат левее), в концах интервалов f(x) стремиться к бесконечности (поскольку это корни числителя), при 
аналогично f(x) стремится к бесконечности, поскольку степень числителя больше степени знаменателя. Значит, на каждом из промежутков модуль достигает минимума во внутренней точке, там производная обращается в ноль (альтернативно можно воспользоваться теоремой Ролля для функции 
—
не может быть посчитан при разных значениях ci: –2 балла к итоговой сумме. Если это хотя бы упомянуто (очевидно что...) — нет претензий.
не может быть тождественно нулем: −4 балла к итоговой сумме.
а 
(см. рисунок), где 
Система уравнений 
и 
Тогда для получения примера функции 
достаточно положить 
и 
В итоге 
a 
а 
(см. рисунок), где 
Тогда для получения примера функции g(x) достаточно положить 
a 
имеет различные действительные корни. Сколько различных действительных корней может иметь уравнение 
и 
Тогда 
откуда
всегда не больше 
достигает максимума, равного 
в точке 
Следовательно, произведение 
Предположим, что каждое из трёх произведений 
перемножив их, получим
4 балла.
если 
Получим: 
Найдите 
и f
Второе — не совсем корректное (в чём?). Пусть 
тогда 
и 
Докажите, что f(x) не может принимать каждое своё значение ровно один раз.
и 
Для этих значений 
и неравенство из условия можно переписать в виде 
что эквивалентно равенству 
Следовательно, значение 
принимается функцией дважды, при 
что противоречит условию.
на промежутке 
Найти все решения уравнения: 
возрастает на промежутке 
достигает максимума 
при 
и убывает на промежутке 
Поэтому 
получаем уравнение 
второй из которых посторонний. На промежутке 
получаем уравнение 
x = 1, лежащие в рассматриваемом промежутке. Объединяя, получаем ответ: 
в этом случае посторонний — минус 1 балл.
с целыми коэффициентами а, b, c, d известно, что p(1) = 2015 и p(2) = 2017. Докажите, что уравнение p(x) = 2016 не имеет целых корней.
нечетно при всех целых x, следовательно, не может иметь целых корней.
представить в виде произведения 
Ответ обосновать.
то есть g(y) — некоторая константа, равная 
при всех значениях y. Аналогично, при 
получим, что 
при всех значениях x. Очевидно, что 
Максим написал на доске произвольный многочлен P(x) с целыми коэффициентами. Антон, не глядя на доску, сказал, что какое бы натуральное число n не назвал Максим, среди выражений P(1), P(1) + P(2), P(1) + P(2) + P(3), … обязательно найдётся число, кратное n. Прав ли Антон?
(в том числе для константы) и для любых натуральных чисел k, n разность 
делится на n. Многочлен состоит из суммы одночленов указанного вида, поэтому верно 
Это означает, что все числа вида 
где 
имеют одинаковый остаток при делении на n. Следовательно, 
Найдите все такие функции f(x).
Заменяя x на 
получаем 
где c — некоторая константа. Подставим полученную функцию в исходное уравнение и получим 
и искомые функции 
принимает целые значения при любых целых x. Какое наименьшее положительное значение может принимать a?
и 
— целые. Значит, 
—
то 2a не меньше 1, и, значит, 
Функция 
с коэффициентом 
удовлетворяет условию задачи, поскольку сумма 
делится на 2 для всех чётных и нечётных x.
в виде 
и применим первое неравенство из условия задачи, взяв в качестве x выражение 
Тогда 
и поскольку 
имеем 
Подставив в это неравенство 
вместо x, получим 
и, значит, 
Повторяя эти рассуждения, получим 
Значит, в приведённой цепочке все неравенства обращаются в равенства, то есть 
Другими словами, функция f(x) имеет период 
Известно, что 
Чему равно f(2020)?
и 
получим 
откуда 
Теперь возьмём 
тогда 
и, значит, 
Полученное равенство означает, что 
периодическая функция с периодом 1. Поэтому 
— 5 баллов. 
так как 
имеем равенства 
противоречие. 
и 
с вещественными коэффициентами таковы, что 
для всех x. Найдите все вещественные корни уравнения 
раскроем скобки и приравняем коэффициенты при всех степенях. Получим систему уравнений 
и 
Тогда трехчлен P(x) можно представить в виде 
либо 
первое из которых не имеет решений, а второе имеет два решения 
делится на многочлен P(x), следовательно, в силу условия, Q(0) делится на P(x) как многочлен, что возможно только если 
В этом случае 
откуда выводим равенства 
и 
После нахождения неизвестных коэффициентов решение заканчивается так же, как первое.
или 
допущены арифметические ошибки — 5 баллов.Всего: 121 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–121
Вычислите сумму 
Действительно, 
При 
имеем 
