РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5746 Добавить в вариант

Про монотонно возрастающую функцию f(x), определённую для всех ненулевых x, известно, что $f левая круглая скобка x плюс f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =0.$ Найдите все такие функции f(x).

Спрятать решение

Решение.

Поскольку функция f(x) строго возрастает, каждое значение оно можно принимать не более одного раза. Значит, $x плюс f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка =c.$ Заменяя x на $дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ получаем $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =c минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби ,$ где c  — некоторая константа. Подставим полученную функцию в исходное уравнение и получим

$f левая круглая скобка x плюс f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка =c минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка конец дроби =c минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс c минус x конец дроби =c минус дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби =0,$

откуда $c=\pm 1$ и искомые функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\pm 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .$

Ответ: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =\pm 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .$

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Функциональные уравнения и неравенства, Разное. Инварианты

Спрятать решение · Помощь