Всего: 121 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите число решений уравнения 
лежащих на отрезке 
в зависимости от действительного параметра a.
в) Найдите множество значений функции f.
а) Перепишем уравнение в виде 
и обозначим 
Получим 
или 
получим 
или 
Вернёмся к замене переменной
б) Найдите число решений уравнения лежащих на отрезке в зависимости от действительного параметра a.
Перепишем уравнение в виде 
и обозначим Ясно, что при 
получим 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x и наоборот. Значит, нужно исследовать вопрос о количестве решений уравнения
на отрезке 
Построим график функции 
Это будет парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при
причем 
Далее, 
Проводя горизонтальную прямую 
и изучая количество общих точек этой прямой и параболы при получаем ответ.
в) Найдите множество значений функции f.
Ясно, что 
принимает все значения из промежутка 
и только их. Если разрешить 
то наибольшее значение функции 
по-прежнему будет при 
а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть либо 
либо 
Поэтому ответ 
Ответ:
а) 
б) решений нет при 
и 
одно решение при 
два решения при 
в) 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б) решений нет при и одно решение при два решения при
в)
Пусть 
а) Решите уравнение 
б) Найдите множество значений отношения 
в) Определите число решений уравнения 
на отрезке 
а) Преобразуем уравнение
Значит либо 
или 
при 
отсюда 
Либо
Обозначив 
получим 
или 
получим 
или 
откуда
Первый из этих наборов включен в ответы и так — все его элементы получаются по формуле
б)Воспользуемся формулой из пункта б)
Обозначив получим
Поскольку t принимает все значения из отрезка 
нам нужно определить множество значений функции 
при кроме 
(поскольку при этих t имеем 
и 
не определено.
Функция 
—
причем 
а наибольшее — при 
или 
Тогда 
и 
поэтому область значений на отрезке [−1; 1] будет 
а на интервале [−1; 1] 
в) Возможны два случая.
Если 
(то есть 
других подходящих точек на этом интервале нет), то 
и уравнение выполнено при любом a. Если же 
то можно поделить обе части уравнения на 
и получить уравнение 
где 
При 
получаем 
и 
причем каждому такому t соответствует ровно одно x из данного в задаче промежутка.
Очевидно функция возрастает на 
и принимает по одному разу все значения из полуинтервала 
Итак, ответ будет таким — при 
уравнение имеет два корня, а при прочих a — один корень (напомним, что 
является корнем всегда).
Ответ:
а) 
б) 
в) одно решение при 
и 
два — при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а)
б)
в) одно решение при и два — при
Пусть 
а) Решите неравенство 
б) Найдите множество значений функции f.
в) Найдите число положительных решений уравнения 
а) Сделаем сразу замену 
тогда 
и 
Пусть 
Отметим также, что каждому 
соответствует ровно одно 
и наоборот. Тогда неравенство примет вид
а учитывая условие —
Тогда 
или 
где 
Ответ:
б) Очевидно это множество совпадает с множеством значений функции 
при 
то есть квадратного трехчлена 
с отрицательным старшим коэффициентом. Наибольшее его значение достигается при 
и равно 
поэтому множество значений его 
Ответ: 
в) Рассмотрим функцию
которая связана с f соотношением 
Имеется взаимно однозначное соответствие 
между положительными решениями уравнения 
и решениями уравнения 
лежащими на луче 
График 
для 
изображен на рисунке, откуда и получаем ответ: уравнение имеет один корень при 
и два — при 
После той же замены мы получим уравнение 
при условии 
Функция 
убывает при 
причем 
Значит, функция 
убывает до корня уравнения 
а затем возрастает. Поэтому она принимает все значения на промежутке 
а потом — на промежутке 
Поэтому уравнение имеет единственный корень при 
два корня при 
один корень при 
и не имеет корней при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Функция f задана, непрерывна и 
при всех 
а) Докажите, что интеграл 
не зависит от t. Предположим дополнительно, что функция f положительна. Пусть
б) Докажите, что 
в) Найдите все действительные 
при которых 
а) Имеем:
Далее,
б) Имеем:
в) Покажем вначале, что неравенство справедливо при 
где n — натуральное число. Имеем сумму:
сделав в каждом из интегралов замену 
получим
поскольку 
Если 
то можно поступить аналогично применительно к интегралу
Докажем теперь, что неравенство справедливо при всех 
Для этого достаточно показать, что функция 
определенная формулой 
непрерывна на 
Пусть 
Поскольку f непрерывна и периодична, то она равномерно непрерывна, значит, для любого 
найдется такое 
что для любых 
таких, что 
верно неравенство 
откуда следует оценка
Ответ:
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Сколько корней (в зависимости от a) имеет уравнение 
б) Пусть 
(
). Докажите неравенство
в) Пусть A, B, C — величины углов некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что если
то этот треугольник — равнобедренный.
г) Пусть 
Решите уравнение 
а) Преобразовав данное уравнение к виду 
и построив график функции 
получим ответ.
Ответ: один корень, если 
два, если 
и три корня, если 
б) Исследовав функцию 
нетрудно показать, что она неотрицательна при всех x, значит, 
Осталось перемножить неравенства 
(обе части которых по предположению неотрицательны).
в) Положим для удобства 
и 
Таким образом, 
и 
откуда
Если, к примеру,
то 
г) Так как 
то функция f монотонна на каждом из отрезков 
значит, на каждом из них она имеет не более одного корня. То, что
достаточно ясно.
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
два, если и три корня, если Известно, что функция f(x) непрерывна в точке x = 0 и для любых действительных x удовлетворяет уравнению 
Сколько существует целых x, удовлетворяющих неравенству 
Если то
тогда f(x) — непрерывна в точке то есть 
Найдем:
Следовательно,
Тогда 
и
а значит,
Итого: 
откуда
Решения неравенства: 1, 2, 3.
Ответ: 3.
Дана функция 
Найдите:
а) корни уравнения 
б) наибольшее и наименьшее значения функции g(x).
Преобразуем данную функцию:
Обозначим 
а) После замены уравнение принимает вид
Возвращаясь к переменой x, получаем 
или 
откуда 
или 
б) Знаменатель дроби положителен при всех t, а в числителе — фиксированное положительное число, поэтому максимум дроби достигается при минимуме знаменателя, а минимум дроби — при максимуме знаменателя. Итак,
(Минимум знаменателя получается в вершине параболы, т. е. при 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от
Ответ: а) 
Функция преобразована к рациональной относительно одной тригонометрической функции — 1 балл.
Решено уравнение пункта а) — 2 балла.
При этом неверно решены элементарные тригонометрические уравнения — (−1) балл.
Найдены максимум и минимум функции — 4 балла.
Дана функция 
Найдите:
а) корни уравнения 
б) наибольшее и наименьшее значения функции g(x).
Преобразуем данную функцию:
Обозначим 
а) После замены уравнение принимает вид
Возвращаясь к переменой x, получаем 
или 
откуда 
или 
б) Знаменатель дроби положителен при всех t, а в числителе — фиксированное положительное число, поэтому максимум дроби достигается при минимуме знаменателя, а минимум дроби — при максимуме знаменателя. Итак,
(Минимум знаменателя получается в вершине параболы, т. е. при 
а максимум — в точке, наиболее удалённой от вершины, т. е. при 
)
Ответ: а) 
б) 
Функция преобразована к рациональной относительно одной тригонометрической функции — 1 балл.
Решено уравнение пункта а) — 2 балла.
При этом неверно решены элементарные тригонометрические уравнения — (−1) балл.
Найдены максимум и минимум функции — 4 балла.
б) Даны три квадратных трехчлена f, g, h, не имеющие корней. Их старшие коэффициенты одинаковы, а все их коэффициенты при x различны. Докажите, что существует такое число c, что уравнения 
и 
имеют общий корень.
(О. Иванова)
Пусть
Заметим, что если 
то 
Поэтому при
равенство 
будет выполнено. Но тогда 
поскольку по условию трехчлен 
не имел корней. Следовательно, при 
имеем 
Но тогда и 
Многочлен P(x) с целыми коэффициентами и натуральное число a > 1 таковы, что для любого целого x найдётся целое z, для которого 
Найдите все такие пары (P(x); a).
(А. Голованов)
Нам понадобится следующая стандартная
Лемма. Предположим, что A, B — вещественные числа, причём 
и многочлен 
степени 
удовлетворяет равенству 
Тогда 
где 
Доказательство. Положим 
Тогда
Приравнивая в полученном уравнении 
коэффициенты при степенях x, видим, что все они, кроме коэффициента при 
равны 0.
Ясно, что многочлен 
удовлетворяет условию при любом 
а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет условию ни при каком a. Пусть теперь степень многочлена P равна и
Рассмотрим равенство 
как уравнение относительно 
Если k четно и то при больших x оно не имеет решений. В остальных случаях можно обозначить 
при некотором вещественном 
Зафиксируем вещественный параметр 
Имеем
Положим 
(при этом значении 
коэффициент при 
равен 0) и выберем числа 
Тогда если 
большое и 
из монотонности многочлена на некотором луче вида 
получаем, что 
лежит между 
и 
Иными словами, разность 
стремится к 
при больших 
таких что 
Для тех x, для которых 
(такое возможно при четном 
аналогично получаем, что 
имеет некоторый конечный предел 
Рассмотрим большое натуральное x. Среди чисел 
два имеют одинаковый знак. Если, например, и 
отрицательны, то
есть сумма целого числа 
и функции от x, стремящейся к 0 при возрастании x. Отсюда получаем, что число 
целое. В любом случае получаем, 
—
имеющие предел, должны быть постоянны при больших x. Таким образом, хотя бы одно из равенств 
имеет место при бесконечно многих x, отметим, что из этого следует цело — численность или, соответственно, 
Тогда либо многочлен 
либо многочлен 
имеет бесконечно много корней — следовательно, он тождественно равен 0. Применяя лемму получаем, что где 
—
Для решения задачи 69 теперь достаточно заметить, что все такие многочлены подходят: 
так что подойдет 
где 
—
—
Ответ: где — где — —
где — где — —Для многочлена P(x) с вещественными коэффициентами можно указать вещественное число a > 1 такое, что при каждом целом x существует целое z, для которого Найдите все такие многочлены P(x).
(А. Голованов)
Нам понадобится следующая стандартная
Лемма. Предположим, что A, B — вещественные числа, причём и многочлен степени удовлетворяет равенству Тогда где
Доказательство. Положим Тогда
Приравнивая в полученном уравнении коэффициенты при степенях x, видим, что все они, кроме коэффициента при равны 0.
Ясно, что многочлен удовлетворяет условию при любом а многочлен, равный ненулевой константе, не удовлетворяет условию ни при каком a. Пусть теперь степень многочлена P равна и
Рассмотрим равенство как уравнение относительно Если k четно и то при больших x оно не имеет решений. В остальных случаях можно обозначить при некотором вещественном Зафиксируем вещественный параметр Имеем
Положим (при этом значении коэффициент при равен 0) и выберем числа Тогда если большое и из монотонности многочлена на некотором луче вида получаем, что лежит между и Иными словами, разность стремится к при больших таких что Для тех x, для которых (такое возможно при четном аналогично получаем, что имеет некоторый конечный предел Рассмотрим большое натуральное x. Среди чисел два имеют одинаковый знак. Если, например, и отрицательны, то
есть сумма целого числа и функции от x, стремящейся к 0 при возрастании x. Отсюда получаем, что число целое. В любом случае получаем, — имеющие предел, должны быть постоянны при больших x. Таким образом, хотя бы одно из равенств имеет место при бесконечно многих x, отметим, что из этого следует цело — численность или, соответственно, Тогда либо многочлен либо многочлен имеет бесконечно много корней — следовательно, он тождественно равен 0. Применяя лемму получаем, что где —
Для решения задачи 69 теперь достаточно заметить, что все такие многочлены подходят: так что подойдет где —
—
Ответ: где — где — —
где — где — —Дан такой квадратный трехчлен f(x), что уравнение 
имеет ровно три решения. Найдите ординату вершины трехчлена f(x).
Предположим, что старший коэффициент трехчлена положителен. Заметим, что
Уравнение 
имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, ордината вершины трехчлена f(x) равна нулю. Аналогично разбирается и случай, когда старший коэффициент трехчлена отрицателен.
Ответ: 0.
Дан такой квадратный трехчлен f(x), что уравнение 
имеет ровно три решения. Сколько решений имеет уравнение 
Предположим, что старший коэффициент трехчлена положителен. Заметим, что
Уравнение имеет больше корней, чем уравнение 
и меньше корней, чем уравнение 
Ясно также, что никакие два уравнения не имеют общих корней. Тогда уравнение имеет ровно один корень. Следовательно, уравнение 
имеет ровно два корня, а уравнение 
корней не имеет. Стало быть, уравнение
имеет два корня. Аналогично разбирается и случай, когда старший коэффициент трехчлена отрицателен.
Ответ: 2.
Известно, что 
Найдите область значений функции 
Пусть 
Если 
то 
Вместе с условием задачи получаем, что 
при 
Теперь
Если 
то
Если 
то
Итак, если то 
Заметим, что обе границы достигаются. Нижняя — при 
верхняя — при таком x, при котором 
Он находится из уравнения 
и равен 
Пусть теперь 
Функции и 
нечетны, поэтому, если 
то 
и 
Для всех 
из неравенства 
следует, что
Это означает, что функция не ограничен а снизу, т. е. любое отрицательное число, меньшее −2, принадлежит области ее значений.
Ответ: 
1. Проверку и оценивание работ проводит Жюри Олимпиады.
2. Задача оценивается по
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
Недочеты — незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки.
Негрубые ошибки — технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки.
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
3. Решение, приведенное в черновике или выполненное карандашом, не проверяется и не оценивается.
4. По окончании проверки подсчитывается суммарная оценка работы как сумма оценок за задачи 1−5 с весом 2.
5. Суммарная оценка проставляется на работу и подтверждается подписью члена Жюри.
Для функции 
решите уравнение 
Функция имеет вид 
при 
Она монотонно возрастает, поэтому уравнение 
эквивалентно уравнению 
Вычислим
С учетом этого уравнение примет вид
Равенство возможно только при выполнении условий 
и
Если 
то
Таким образом, 
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Дан квадратный трехчлен 
имеющий ровно один корень. Найдите коэффициенты a и b, если известно, что и многочлен
имеет ровно один корень.
Пусть — единственный корень многочлена 
Тогда функция сохраняет знак во всех точках 
и только 
Следовательно, корнем многочлена
является только такая точка 
что
Упрощая уравнение: 
находим 
Следовательно,
Из единственности корня следует, что имеет вид
откуда 
и 
Ответ: 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Функция 
— чётная, её областью определения является множество действительных чисел. Известно, что уравнение 
имеет 2015 различных корней. Найдите f(0). Ответ обоснуйте.
По определению, функция называется чётной, если 1) для любого 
следует, 
Из определения следует, что если для любого неравного нулю числа x выполняется условие 
то есть x является корнем уравнения, то и 
то есть −x также является корнем уравнения, причём 
Следовательно, различных неравных нулю корней уравнения может быть только чётное число.
Но, по условию задачи, число корней уравнения равно 2015 (нечётное число). Следовательно, одним из корней уравнения является 0. Но тогда 
откуда 
Ответ: 
(или 0,8).
| Балл | |
|---|---|
| 15 | Обоснованно получен правильный ответ. |
| 5 | Доказано, что число неравных нулю корней уравнения — чётное, но затем не сделан правильный вывод, либо получен правильный ответ, но он недостаточно обоснован. |
| 0 | Все остальные случаи. |
(или 0,8).Квадратный трехчлен 
имеет дискриминант равный 100. Сколько корней имеет уравнение 
График функции 
получается из трафика функции сдвигом на 10 вправо вдоль оси абсцисс.
Из формулы корней видно, что расстояние между корнями равняется квадратному корню из дискриминанта, то есть 10. Таким образом, оба графика функций и пересекают ось абсцисс в одной и той же точке 
где 
— больший корень уравнения Поэтому является корнем обоих уравнений, и, следовательно, корнем уравнения
Графики функций и симметричны друг другу относительно вертикальной прямой 
и, значит, график функции также симметричен относительно этой прямой. Поэтому если имеет ещё какой-нибудь корень 
то корнем является и 
с учётом корня получаем, что число корней нечётно. Но — квадратный трёхчлен, и имеет не больше двух корней, следовательно, уравнение
имеет один корень.
Ответ: 1 корень.
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
При обработке числовых данных часто приходится вычислять среднее арифметическое
и решать уравнения, содержащие среднее арифметическое. Найдите все конечные (состоящие из конечного числа элементов) числовые множества X такие, что для любых a и b из X множество X содержит корень x уравнения 
Имеем
Требуемым в условии задачи свойством обладает любое одноэлементное множество
так как 
Допустим далее, что множество X содержит по крайней мере два различных элемента c, d, причем 
(без ограничения общности). Для уравнения 
находим, согласно (1), 
Затем для уравнения 
получаем 
после чего рассматриваем уравнение 
и получаем 
Продолжая таким же образом, получаем последовательность решений
Покажем, что все ее члены
попарно различны. Если допустить, что 
при 
то, преобразуя равенство, получим
откуда 
это невозможно. Итак, множество X содержит бесконечное подмножество-последовательность (3), следовательно, множество X бесконечно.
Ответ: в точности все одноэлементные множества 
| Каждая задача оценивается по в соответствии с критериями. | ||
| Вид погрешности или ошибки | Отметка в работе | Баллы |
|---|---|---|
| Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения | + | 10 |
| Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка | + | 9 |
| Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка | ± | 7−8 |
| Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено | ∓ | 5−6 |
| Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный) | ∓ | 3−4 |
| Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок | − | 2 |
| Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата | − | 1 |
| Задача не решилась | 0 | 0 |
| Недочеты: незначительные (непринципиальные) арифметические ошибки. Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов. Грубые ошибки: I. Логические, приводящие к неверному заключению. II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа. III. Неверный чертеж в геометрических задачах. IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем. | ||
Найдите все функции 
определенные на всей числовой оси и удовлетворяющие условию 
при
Одно решение очевидно, это 
Рассмотрим функции, не равные тождественно нулю на всей числовой оси. Положив 
получаем, 
не обращается в 0 ни при каком y, так как иначе значение 
было бы равно 0 при вcех t, что противоречит условию задачи.
Положив 
получаем из исходного равенства, что
причём мы уже знаем, что 
Деля на 
левую и правую части, получаем 
Заметим, что число x при этом можно было выбирать произвольно, что и завершает доказательство.
Ответ: 
других нет.
других нет.Наверх