сайты - меню - вход - но­во­сти


Поиск
?


Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 5 6 7 8 9

Всего: 1000    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80

Добавить в вариант

Функ­ция f (x), опре­делённая при всех дей­стви­тель­ных x, яв­ля­ет­ся чётной. Кроме того, при любом дей­стви­тель­ном x вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой функ­ции, от­лич­ной от кон­стан­ты.

б)  До­ка­жи­те, что любая такая функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской.


Функ­ция f (x), опре­делённая при всех дей­стви­тель­ных x, яв­ля­ет­ся чётной. Кроме того, при любом дей­стви­тель­ном x вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс f левая круг­лая скоб­ка 10 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 4.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой функ­ции, от­лич­ной от кон­стан­ты.

б)  До­ка­жи­те, что любая такая функ­ция яв­ля­ет­ся пе­ри­о­ди­че­ской.


Бух­гал­те­ры, ме­не­дже­ры и эко­но­ми­сты банка сидят за круг­лым сто­лом. Когда ди­рек­тор по­про­сил под­нять руку бух­гал­те­ров, рядом с ко­то­ры­ми сидит эко­но­мист, руку под­ня­ли 20 че­ло­век. А когда ди­рек­тор по­про­сил под­нять руку ме­не­дже­ров, рядом с ко­то­ры­ми сидит эко­но­мист, руку под­ня­ли 25 че­ло­век. До­ка­жи­те, что рядом с кем-то из под­ни­мав­ших руку сидит сразу два эко­но­ми­ста.


В ряд вы­пи­са­ны цифры 987654321. По­ставь­те между ними ровно два знака минус так, чтобы зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния было ми­ни­маль­ным. (На­при­мер, при рас­ста­нов­ке 9876 − 54 − 321 по­лу­ча­ет­ся 9501.)


Су­ще­ству­ет ли че­ты­рех­уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на три рав­ных тре­уголь­ни­ка двумя раз­ны­ми спо­со­ба­ми? Если не су­ще­ству­ет  — до­ка­жи­те, если су­ще­ству­ет  — по­строй­те при­мер.


Бо­лель­щи­ки Спар­та­ка го­во­рят прав­ду, когда Спар­так вы­иг­ры­ва­ет, и лгут, когда он про­иг­ры­ва­ет. Ана­ло­гич­но ведут себя бо­лель­щи­ки Ди­на­мо, Зе­ни­та и Ло­ко­мо­ти­ва. После двух мат­чей с уча­сти­ем этих че­ты­рех ко­манд, каж­дая из ко­то­рых за­кон­чи­лась по­бе­дой одной из ко­манд, а не ни­чьей, из бо­лель­щи­ков, смот­рев­ших транс­ля­цию, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Спар­так?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 200 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ди­на­мо?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 300 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Зенит?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 500 че­ло­век, на во­прос "бо­ле­е­те ли вы за Ло­ко­мо­тив?" по­ло­жи­тель­но от­ве­ти­ли 600 че­ло­век. Сколь­ко че­ло­век бо­ле­ло за каж­дую из ко­манд?


На доске на­пи­са­ны числа 1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ... , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 100 конец дроби . Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа a и b и за­пи­сать вме­сто них a + b  =  ab. После не­сколь­ких таких опе­ра­ций на доске оста­лось одно число. Чему оно может быть равно?


Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.


Дан куб, каж­дая грань ко­то­ро­го – это клет­ча­тое поле раз­ме­ром 2015 на 2015 кле­ток. В цен­тре одной из гра­ней стоит пешка. Данил и Мак­сим пе­ре­дви­га­ют пешку по клет­кам куба. Данил может хо­дить толь­ко на со­сед­нюю по сто­ро­не клет­ку (раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­хо­дить на дру­гую грань, если клет­ки со­сед­ние по сто­ро­не), а Мак­сим может по­ста­вить пешку в любую клет­ку. Пешка кра­сит за собой клет­ки. На за­кра­шен­ную клет­ку пешку дви­гать нель­зя. Из­на­чаль­ная клет­ка (центр грани) за­кра­ше­на. Данил ходит пер­вым. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сде­лать ход. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре обоих?


Дан тре­уголь­ник ABC, точки A1, B1, C1  — се­ре­ди­ны сто­рон BC, AC, AB со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что три пря­мые, про­хо­дя­щие через эти точки и па­рал­лель­ные бис­сек­три­сам про­ти­во­ле­жа­щих углов, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.


В гномьем клане не­ко­то­рые зна­ко­мы между собой. Каж­дый гном вла­де­ет не­ко­то­рым ко­ли­че­ством монет. Днём каж­дый гном узнаёт, сколь­ко монет у каж­до­го из его зна­ко­мых. Ве­че­ром он отдаёт по мо­не­те каж­до­му из зна­ко­мых, кто днём был бо­га­че него. Гном не может от­дать боль­ше, чем у него есть (на­при­мер, нищий гном ни­че­го не отдаёт). Если у гнома днём было мень­ше монет, чем ко­ли­че­ство зна­ко­мых бо­га­че, чем он, то он сам ре­ша­ет, кому от­да­вать мо­не­ты. До­ка­жи­те, что, на­чи­ная с ка­ко­го-то дня, гномы пре­кра­тят пе­ре­да­вать друг другу мо­не­ты.


На сколь­ко ча­стей могут де­лить плос­кость 7 раз­лич­ных ка­са­тель­ных к дан­ной окруж­но­сти? При­ве­ди­те при­ме­ры для всех от­ве­тов и до­ка­жи­те, что дру­гих не су­ще­ству­ет.


Слова языка ро­бо­тов пла­не­ты Ше­ле­зя­ка  — по­сле­до­ва­тель­но­сти стре­ло­чек «вверх», «вниз», «влево» и «впра­во», причём две про­ти­во­на­прав­лен­ные стре­лоч­ки не могут сто­ять рядом. Учи­тель на­пи­сал на доске 1000000 слов этого языка. Че­ты­ре уче­ни­ка пе­ре­пи­сы­ва­ют слова к себе в тет­радь, делая сле­ду­ю­щие из­ме­не­ния: уче­ник U при­пи­сы­ва­ет перед сло­вом стре­лоч­ку вверх, а если это за­пре­ще­но (слово на­чи­на­ет­ся с «вниз»), то уби­ра­ет это пер­вое «вниз», уче­ни­ки D, L, R де­ла­ют всё то же самое, толь­ко при­пи­сы­ва­ют со­от­вет­ствен­но стрел­ку вниз, влево или впра­во, и вычёрки­ва­ют пер­вый сим­вол, если он ока­зал­ся «вверх», «впра­во», «влево». До­ка­жи­те, что в одной из четырёх тет­ра­дей ми­ни­мум по­ло­ви­на (500 000) слов не будет встре­чать­ся среди слов на доске.


Лыж­ник спус­ка­ет­ся с вер­ши­ны горы к её под­но­жию за 10 минут, а сно­убор­дист  — за 5 минут. Спу­стив­шись, они тут же под­ни­ма­ют­ся вверх на подъёмнике, а затем сразу же спус­ка­ют­ся вновь. В 12:00 они од­но­вре­мен­но на­ча­ли спуск с вер­ши­ны. Впер­вые они встре­ти­лись у под­но­жия в 14:10. Опре­де­ли­те время подъёма от под­но­жия до вер­ши­ны.


Аналоги к заданию № 62: 105 Все


В ком­па­нии из 6 че­ло­век не­ко­то­рые ком­па­ни­я­ми по трое хо­ди­ли вме­сте в по­хо­ды. Верно ли, что среди них най­дут­ся чет­ве­ро, среди ко­то­рых каж­дые трое хо­ди­ли вме­сте в поход, либо чет­ве­ро, где ни­ка­кие трое не хо­ди­ли вме­сте в поход?


В пунк­тах A и B на­хо­дит­ся по ав­то­мо­би­лю. Каж­дую ми­ну­ту эти два ав­то­мо­би­ля од­но­вре­мен­но пе­ре­ез­жа­ют в какой-либо со­сед­ний пункт (пунк­ты, со­единённые от­рез­ка­ми, на­зы­ва­ют со­сед­ни­ми). До­ка­жи­те, что ав­то­мо­би­ли ни­ко­гда не ока­жут­ся од­но­вре­мен­но в одном пунк­те.


Внут­ри вы­пук­ло­го четырёхуголь­ни­ка ABCD рас­по­ло­же­ны че­ты­ре окруж­но­сти од­но­го ра­ди­у­са так, что они имеют общую точку и каж­дая из них впи­са­на в один из углов четырёхуголь­ни­ка. До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD впи­сан­ный.


В окруж­ность впи­сан рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, M – се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, N  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. До­ка­жи­те, что для любой точки K, ле­жа­щей на окруж­но­сти, ве­ли­чи­на угла MKN не пре­вос­хо­дит 60°.


Шесть по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел от 10 до 15 впи­са­ны в круги на сто­ро­нах тре­уголь­ни­ка таким об­ра­зом, что суммы трех чисел на каж­дой из сто­рон равны. Какое мак­си­маль­ное зна­че­ние может при­ни­мать эта сумма?


Код сейфа со­сто­ит из пяти иду­щих под­ряд цифр. Ва­си­лий Пет­ро­вич по­ло­жил день­ги в сейф, а когда за­хо­тел их за­брать, вы­яс­ни­лось, что он забыл код. Он толь­ко пом­нил, что в коде были числа 21 и 16. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство пя­ти­знач­ных но­ме­ров не­об­хо­ди­мо пе­ре­брать, чтобы на­вер­ня­ка от­крыть сейф?

Всего: 1000    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80