Дан треугольник ABC, точки A1, B1, C1 — середины сторон BC, AC, AB соответственно. Докажите, что три прямые, проходящие через эти точки и параллельные биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.
Пусть эти прямые — a, b, c соответственно. Рассмотрим четырёхугольник AC1A1B1. Он является параллелограммом, т. к. C1A1 и B1A1 — средние линии в треугольнике ABC. Проведём биссектрису угла A и прямую a. Из параллельности этих двух прямых и того факта, что AC1A1B1 — параллелограмм, следует, что a — биссектриса угла C1A1B1. Аналогично, b и c так же являются биссектрисами треугольника A1B1C1, а биссектрисы пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.