Всего: 19 1–19
Добавить в вариант
В пространстве даны 5 точек, таких что в проекциях на координатные плоскости никакие три точки не лежат на одной прямой. Могло ли оказаться так, что каждая точка ровно в одной из этих проекций лежит внутри выпуклой оболочки остальных? (Мы говорим, что точка лежит внутри выпуклой оболочки других точек, если она лежит внутри треугольника с вершинами в некоторых трёх из этих точек.)
Плоскость пересекает ребра тетраэдра ABCD, выходящие из вершины D, и делает их в отношении 5 : 1 (не обязательно от вершины D). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и AC в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников AEF и ABC.
и 
соответственно. Если 
и 
параллельны, а значит, плоскость 
не пересекается с прямой AB. Аналогичные рассуждения проведём для прямой AC. Значит, 
При этом точка E оказывается на луче 
за точкой A, откуда 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине A).
При этом точка E оказывается на луче 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
Плоскость пересекаю ребре тетраэдра ABCD, выходящие из вершины C, и делает их в отношении 4 : 1 (не обязательно от вершины C). Так же эта плоскость пересекает прямые AB и BD в точках E и F. Найдите отношение площадей треугольников BEF и ABD.
соответственно. Если 
При этом точка E оказывается на луче 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).
При этом точка E оказывается на луче BA за точкой A, откуда 
Аналогично 
и отношение площадей равно 
(т. к. у искомых треугольников равны углы при вершине B).
точки P и Q, причем точка P принадлежит плоскости 
Найдите все точки R, принадлежащие плоскости 
принимает максимальное значение.
тогда 
Угол 
принимает наименьшее значение, если плоскость PQR перпендикулярна плоскости γ; в этом случае угол 
Итак, точка R принадлежит проекции прямой PQ на плоскость γ. Остается найти расстояние 
В этой точке она меняет знак c 
на 
поэтому функция 
в точке 
достигает максимума. Тем самым получаем искомую точку. В случае, когда отрезок 
перпендикулярен плоскости а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
при 
так что 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
и 
получаем 
Тогда 
и уравнение примет вид
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При прочих a можно сократить на 
получим
поэтому такой корень подходит.
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
то есть 
в случаях 
Во всех случаях 
при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
при 
при 
при 
при 
тогда 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
и 
поэтому 
—
и 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся как 5 : 9, а острые углы между прямыми и одной из этих плоскостей — соответственно как 2 : 1. Найдите косинус меньшего из углов.
и 
Поэтому 
Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся как 5 : 8, а острые углы между прямыми и одной из этих плоскостей — соответственно как 2 : 1. Найдите косинус меньшего из углов.
Пусть A и B — различные точки, принадлежащие линии пересечения перпендикулярных плоскостей π1 и π2. Точка C принадлежит плоскости π2 но не принадлежит π1. Обозначим через P точку пересечения биссектрисы угла ACB с прямой AB и через ω окружность с диаметром AB в плоскости π1. Плоскость π3, содержащая CP, пересекает окружность ω в точках D и E. Докажите, что CP — биссектриса угла DCE.
является большой окружностью, точка F — центр «шапочки», отсекаемой от сферы Ω плоскостью π1. Плоскость π3 проходит через точку F, и дуга DE, лежащая в плоскости π на указанной шапочке, из соображений симметрии делится точкой F пополам. Следовательно, прямая CF, а вместе с ней и CP, является биссектрисой угла DCE.
и 
соответственно. Найдем направляющий вектор прямой, по которой пересекаются эти плоскости. Заметим, что точка B принадлежит этой прямой, так как она принадлежит обеим плоскостям. Вторую точку на прямой (обозначим ее K) будем искать из условия 
Подставляя 
в уравнения плоскостей A′BM и C′BD, получим 
и 
Вычислим 
параллельно вектору 
уравнение равносильно 
а при 
равносильно 
Таким образом, исходная кривая состоит из двух окружностей. Она показана на рисунке, там же изображены возможные прямые, имеющие две точки касания с кривой.
Следовательно, 
Поэтому уравнения внешних касательных будут: 
то именно она и будет доставлять минимальное расстояние. Для справки уравнения двух внутренних касательных: 
так как каждая точка пересечения принадлежит ровно двум прямым. Значит, 11 точек пересечения не может быть. А 9 может, если какие-то две прямые будут параллельны (пример показан на рис.).
при условии 
до точек с координатами 
и 
а геометрическое место решений уравнения 
на плоскости есть ромб 
и 
то задача равносильна поиску минимума суммы расстояний от точки, лежащей на указанном ромбе, до точек с координатами 
(см. левый рис.).
а точка 
симметрична точке F относительно прямой l. Тогда полу чаем 
лежит на стороне ромба. Сумм а расстояний от любой другой точки ромба до точек E и F превосходит 
Остаётся найти EF и расстояние между прямыми 
и 
Применяя теорему Пифагора, получаем 
Расстояние между прямыми равно расстоянию от начала координат до прямой 
а именно, неравенство 
и 
можно найти сразу по формуле 
треугольника, каждые два из которых отделены друг от друга хотя бы одной из проведённых плоскостей. А поскольку все проведённые плоскости пересекаются в центре куба, то каждая часть содержит в качестве одной из своих граней один из этих 24 треугольников. Следовательно, число частей разбиения также равно 
частей
части
часть.