Всего: 95 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–95
Добавить в вариант
откуда 
Значит, сумма чисел во втором столбце равна 
Если во втором столбце стоят 3 и 5, то в третьем столбце должны стоять 1 и 8, в четвертом — 6 и 4, в последнем — 2 и 9. Если во втором столбце стоят 6 и 2, то в третьем столбце могут стоять 1 и 8 или 4 и 5. Можно показать, что если в третьем столбце стоят 1 и 8, то невозможно подобрать числа в четвертом столбце. Значит, там стоят 4 и 5, тогда в четвертом столбце стоят 1 и 9, а в последнем — 3 и 8. Получилось 2 варианта расстановки без учета порядка.
поэтому просто сумма чисел в таблице не меньше 17. Пример таблицы с суммой 17 смотреть ниже.Директор зоопарка приобрёл восемь слонов с номерами
Карта Квадрландии представляет собой квадрат 
клеток. Каждая клетка — либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (то есть клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств?
(М. Евдокимов)
записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?
Ясно, что это возможно. Тогда таблица разобьётся на квадраты 
домино 
и квадратики 
В квадраты впишем двойки, в домино - единицы, в квадратики — нули. Условие будет выполнено, поскольку фигурки одного вида не имеют общих сторон. 
и 
В больших окантовку заполним двойками. Оставшиеся полоски 
разобьём на чередующиеся доминошки (с единицами) и квадратики (с нулями). 
действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до 
включительно (ровно по одному разу)?
и 
Аналогично строятся примеры для всех чётных (нечётных) N: в первом столбце реализуются все суммы от 1 до 
на стыке первого и второго столбцов — от N до 
во втором столбце — от 2N 
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n — в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
(см. рис. 2). Нетрудно доказать, что они расставлены следующим образом: для нечётного столбца последнее (нижнее) число совпадает с первым числом следующего чётного столбца и вторым числом следующего нечётного. Значит, каждый столбец начинается с остатка i, равного своему номеру, кроме 
В клетках квадратной таблицы n × n, где n > 1, требуется расставить различные целые числа от 1 до n2 так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n — в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно?
В таблице n × n стоят все целые числа от 1 до n2, по одному в клетке. В каждой строке числа возрастают слева направо, в каждом столбце — снизу вверх. Докажите, что наименьшая возможная сумма чисел на главной диагонали, идущей сверху слева вниз направо, равна 
(Б. Френкин)
клеток: самый левый столбец, следующий столбец без верхнего числа, следующий столбец без двух верхних чисел, ..., самый правый столбец без верхних 
по возрастанию: в первом столбце лесенки будут стоять числа от 1 до n, во втором — от 
до 
и т. д. Заполнив лесенку, заполняем оставшиеся клетки таблицы по тому же принципу: двигаясь от самого левого столбца таблицы к самому правому, заполняем их снизу вверх оставшимися числами по возрастанию. Тогда таблица будет удовлетворять условию, а сумма чисел на главной диагонали будет равна 
—
покрасим само 
Тем самым 
ровно n, чисел цвета 2, но не цвета 
ровно 
чисел цвета k, но ни одного из цветов 
— ровно 
Отсюда 
Если число из лесенки находится в одной строке или в одном столбце с одним из диагональных чисел 
то оно не превосходит его, и, значит, не превосходит 
числа 
могут находиться только в строках и столбцах с числами 
— таких чисел всего 
Все остальные 
чисел лесенки не больше 
Складывая, получаем точную оценку на 
единичные стрелки влево или вниз в попарно различные клетки 
-й
же проведём одну из двух стрелок на 
не имеют общих клеток. Берём клетки 
и проводим из них стрелки в попарно различные клетки 
-й
ведут k путей, причём их начала длины 
соответственно не имеют общих клеток. Число 
Докажем, что если в каждой диагонали поставить числа сверху вниз по возрастанию, то расстановка чисел в этом треугольнике по-прежнему будет удовлетворять условиям. Для этого, если 
—
при всех 
Это доказывается, например, тем же проведением стрелок; есть и другие способы. После этого в новой расстановке число 
Латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица из n строк и n столбцов, заполненная натуральными числами от 1 до n таким образом, что каждый столбец и каждая строка не содержат одинаковые числа. Пусть L — латинский квадрат порядка n. Число, стоящее в этом квадрате в строке с номером i и столбце с номером j, обозначим L(i, j).
Два латинских квадрата L1 и L2 назовем ортогональными, если при их «наложении» не образуется одинаковых пар элементов в разных ячейках таблицы. А именно, если 
то
a) Постройте пару ортогональных латинских квадратов порядка 5.
б) Докажите, что множество, состоящее из попарно ортогональных латинских квадратов порядка n, не может содержать более чем 
квадрат.
и 
Переобозначим в нем элементы: 1 заменим на 2, 2 — на 3, 3 — на 1. В результате, естественно, вновь получим латинский квадрат 
Утверждение доказано.Чтобы попасть в Криптоландию, необходимо пройти через ворота с электронным замком, предъявив правильный ключ. В микросхеме замка хранится таблица размерами 3 × 8 (3 строки и 8 столбцов), заполненная целыми числами от 1 до 8 так, что в каждой строке этой таблицы встречаются все числа от 1 до 8, а в каждом столбце нет повторяющихся чисел. Такие таблицы принято называть латинскими прямоугольниками. Путешественник должен предъявить в качестве ключа латинский прямоугольник размерами 4 × 8. Замок откроется в том и только том случае, если два эти прямоугольника (в памяти замка и предъявленный путешественником) можно единственным способом дополнить до латинских прямоугольников размеров 4 × 8 и 5 × 8, дописав к каждому из них одну и ту же строку. Если это условие не выполняется, то есть такое дополнение невозможно или неоднозначно, то ворота остаются закрытыми. Катя и Юра решили посетить Криптоландию. Определите, чей ключ правильный и почему.
—
—
—
так как каждым из этих чисел (и только ими) можно дополнить первый столбец прямоугольников L и M. Тогда общее продолжение латинских прямоугольников L и M существует в том и только том случае, когда семейство множеств A1, A2, ..., A8 обладает системой различных представителей, то есть существует такой упорядоченный набор чисел 
что 
при 
Каждая такая система-это дополнительная строка, которая может быть дописана и к прямоугольнику путешественника, и к прямоугольнику замка. По условию замок открывается, только когда такая дополнительная строка единственна. 
Латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица из n строк и n столбцов, заполненная натуральными числами от 1 до n таким образом, что каждый столбец и каждая строка не содержат одинаковые числа. Пусть L — латинский квадрат порядка n. Число, стоящее в этом квадрате в строке с номером i и столбце с номером j, обозначим L(i, j).
Два латинских квадрата L1 и L2 назовем ортогональными, если при их «наложении» не образуется одинаковых пар элементов в разных ячейках таблицы. А именно, если то
a) Постройте пару ортогональных латинских квадратов порядка 4.
б) Докажите, что множество, состоящее из попарно ортогональных латинских квадратов порядка n, не может содержать более чем квадрат.
и 
Переобозначим в нем элементы: 1 заменим на 2, 2 — на 3, 3 — на 1. В результате, естественно, вновь получим латинский квадрат: В каждую клетку доски 4 × 4 Аня положила по нескольку зерен и передала доску Боре (см. рис.). Трансверсалью доски называется набор из 4 клеток, любые две из которых расположены в разных строках и разных столбцах (см. примеры). Боря за один ход может снять одинаковое количество зерен с каждой клетки какой-либо одной трансверсали. За какое минимальное число ходов Боря может снять все зерна с доски?
образуют трансверсаль)
не образуют трансверсаль)
В каждую клетку доски 4 × 4 Аня положила по нескольку зерен и передала доску Боре (см. рис.). Трансверсалью доски называется набор из 4 клеток, любые две из которых расположены в разных строках и разных столбцах (см. примеры). Боря за один ход может снять одинаковое количество зерен с каждой клетки какой-либо одной трансверсали. За какое минимальное число ходов Боря может снять все зерна с доски?
образуют трансверсаль)
не образуют трансверсаль)
| 4 | 5 | 6 | 0 |
| 5 | 0 | 4 | 6 |
| 5 | 5 | 3 | 2 |
| 1 | 5 | 2 | 7 |
В некоторые клетки доски 4 × 4 Аня положила по нескольку зерен и передала доску Боре (см. рис.). Трансверсалью доски называется набор из 4 клеток, любые две из которых расположены в разных строках и разных столбцах. Боря за один ход может снять одинаковое количество зерен с каждой клетки какой-либо одной трансверсали. За какое минимальное число ходов Боря может снять все зерна с доски?
Ключом шифрсистемы служит таблица 4 × 4, в каждую ячейку которой записана одна из цифр 0, 1, 2. При этом должны делиться на 3 сумма цифр в каждой строке, сумма цифр в каждом столбце, а также суммы цифр на каждой из двух диагоналей, отмеченных пунктиром. На рисунке приведен один из возможных вариантов ключа. Сколько существует всего различных ключей?
равно 7. Следовательно, общее число ключей равно 
состоит ровно из 100 чисел.
где 
и 
и 
то есть 
— модуль суммы всех чисел в первом квадрате, a 
— модуль суммы всех чисел во втором квадрате. Тогда 
В каждую клетку таблицы 21 × 22 вписано число 1 или −1. Под каждым столбцом записано произведение всех чисел столбца, а рядом с каждой строкой — произведение чисел строки. Какое наименьшее неотрицательное значение может принимать сумма всех этих произведений?
то есть это изменение может равняться 4, 0 или −4. Таким образом, после замены знаков в нескольких клетках таблицы значение суммы может измениться лишь на слагаемое, кратное 4.
Наименьшее неотрицательное значение выражения 
очевидно, равно 3, и оно достигается при целом k = 10.