Рас­смот­рим вме­сто пря­мой, со­дер­жа­щей хо­ро­шие числа, па­рал­лель­ную ей пря­мую, со­дер­жа­щую числа 1, 5, 13, 25... (назовём их от­лич­ны­ми). Раз­ность между со­сед­ни­ми (по воз­рас­та­нию) от­лич­ны­ми чис­ла­ми опре­де­ля­ет­ся дли­ной по­ло­ви­ны витка спи­ра­ли и каж­дый раз уве­ли­чи­ва­ет­ся на 4 (1 + 4  =  5, 5 + 8  =  13, 13 + 12  =  25...). Таким об­ра­зом, n-е от­лич­ное число равно

Вернёмся к хо­ро­шим чис­лам. За­ме­тим, что они на­хо­дят­ся на спи­ра­ли рядом с от­лич­ны­ми, по­это­му от­ли­ча­ют­ся от них на 2: 3  =  5 − 2, 15  =  13 + 2, 23  =  25 − 2, 43  =  41 +2 ... Зна­чит, хо­ро­шее число с но­ме­ром 2k на 2 боль­ше, чем от­лич­ное с но­ме­ром а хо­ро­шее число с но­ме­ром 2k + 1, на­о­бо­рот, на 2 мень­ше, чем от­лич­ное с но­ме­ром 2k + 2. Сум­мар­но по­лу­ча­ет­ся, что сумма пер­вых 2020 хо­ро­ших чисел равна сумме от­лич­ных чисел с но­ме­ра­ми от 2 до 2021, то есть

До­ка­жем лемму:

За­ме­тим сна­ча­ла, что Те­перь до­ка­жем ис­ход­ное утвер­жде­ние по ин­дук­ции. База: под­став­ляя по­лу­ча­ем что верно. Пе­ре­ход: если уже из­вест­но, что

По­лу­ча­ет­ся, что ис­ко­мая сумма равна

Ответ: 5503104180.

Сна­ча­ла до­ка­жем, что од­но­го по­жар­но­го не­до­ста­точ­но. Пусть огонь начал рас­про­стра­нять­ся из клет­ки с ко­ор­ди­на­та­ми (0; 0). По ин­дук­ции легко про­ве­рить, что после n ходов по­жар­но­го огонь смо­жет за­хва­тить хотя бы одну клет­ку на n-й диа­го­на­ли из кле­ток (n; 0), ..., (0; n): по­жар­ный к этому мо­мен­ту мог за­щи­тить не боль­ше одной клет­ки на n-й диа­го­на­ли, а у уже го­ря­щей клет­ки на преды­ду­щей диа­го­на­ли есть два со­се­да на n-й. Двух по­жар­ных до­ста­точ­но (см. рис.).

Ответ: 2.

Для того, чтобы при­ду­мать при­мер, за­ме­тим сна­ча­ла сле­ду­ю­щее: числа в клет­ках, между ко­то­ры­ми по го­ри­зон­та­ли или вер­ти­ка­ли ровно две клет­ки, долж­ны быть одной чётно­сти, так как вме­сте с чис­ла­ми, за­пи­сан­ны­ми в двух про­ме­жу­точ­ных клет­ках, они долж­ны да­вать в сумме чётное число. Таким об­ра­зом, в каж­дой стро­ке и каж­дом столб­це остат­ки чисел при де­ле­нии на два по­вто­ря­ют­ся с пе­ри­о­дом три.

Вы­де­лим в левом верх­нем углу нашей таб­ли­цы пря­мо­уголь­ник 3 × 3 и в каж­дой его клет­ке мы от­ме­тим, сколь­ко чисел обя­за­ны иметь такой же оста­ток со­глас­но преды­ду­ще­му рас­суж­де­нию.

По­сколь­ку от 1 до 48 чётных и нечётных чисел по 24, нам нужно раз­бить по­лу­чен­ные в таб­ли­це числа на две груп­пы с общей сум­мой 24 каж­дая. При этом в каж­дом столб­це и каж­дой стро­ке нашей таб­ли­цы 3 × 3 долж­но быть либо 2 нечётных остат­ка, либо ни од­но­го. Ис­хо­дя из этих со­об­ра­же­ний, вы­де­лим жёлтым клет­ки, со­от­вет­ству­ю­щие нечётным чис­лам.

Со­от­вет­ствен­но, стро­ит­ся и при­мер (мы не будем пи­сать сами числа, ука­жем толь­ко их чётность):

Ответ: да.

Вы­чис­лим сумму чисел и сумму За­ме­тим, что Из этого сле­ду­ет, что выше диа­го­на­ли все рас­по­ла­га­ют­ся числа боль­шие 21, а ниже  — мень­шие 20. Зна­чит, на диа­го­на­ли все числа равны 20 и их сумма равна

Ответ: 780.

Про­ну­ме­ру­ем клет­ки таб­ли­цы так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ясно, что в левой верх­ней клет­ке стоит число 1, а в пра­вой ниж­ней  — число 9.

По усло­вию по­это­му Рас­смот­рим слу­чаи.

Слу­чай 1. Если то числа a₂ и a₄  — это 2 и 3. Спо­со­бов их рас­ста­нов­ки всего 2. Те­перь вы­чис­лим ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов вы­бо­ра чисел a₃ и a₆. На их место можно по­ста­вить любую из остав­ших­ся пар чисел, причём по­это­му рас­ста­нов­ка каж­дой пары опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но. Всего таких пар Остав­ши­е­ся два числа рас­став­ля­ют­ся од­но­знач­но. Всего по­лу­чи­лось ва­ри­ан­тов рас­ста­нов­ки.

Слу­чай 2. Если то числа a₆ и a₈  — это 7 и 8, и слу­чай ана­ло­ги­чен преды­ду­ще­му. По­лу­ча­ем ещё 12 ва­ри­ан­тов рас­ста­нов­ки.

Слу­чай 3. Если то по­смот­рим, какие числа могут сто­ять в клет­ках с но­ме­ра­ми a₃ и a₇. На их место нель­зя ста­вить числа 2 и 8, так как эти числа обя­за­ны быть со­се­дя­ми 1 и 9 со­от­вет­ствен­но. Если то и Любое из остав­ших­ся чисел можно по­ста­вить в клет­ку a₆ тремя спо­со­ба­ми, остав­ши­е­ся числа ста­вят­ся од­но­знач­но. Рас­смот­рен­ный ва­ри­ант ана­ло­ги­чен слу­ча­ям и   — в каж­дом по­лу­ча­ем по 3 ва­ри­ан­та рас­ста­нов­ки, но были два­жды по­счи­та­ны слу­чаи, когда числа a₃ и a₇  — это 3 и 7. Bсего таких слу­ча­ев два:

В итоге по­лу­ча­ем ва­ри­ан­тов. Если ни одно из чисел в клет­ках a₃ и a₇ не равно 3 или 7, то в клет­ках a₃ и a₇ могут сто­ять лишь числа 4 и 6 в любом по­ряд­ке. Тогда в клет­ках a₂ и a₄ стоят числа 2 и 3 в любом по­ряд­ке, а в клет­ках a₆ и a₈  — числа 7 и 8 в любом по­ряд­ке. Всего 8 ва­ри­ан­тов рас­ста­но­вок. Все слу­чаи разо­бра­ны, ис­ко­мое число ва­ри­ан­тов равно

Ответ: 42.

До­ка­жем, что все 12 ше­сти­знач­ных числа де­лят­ся на 7, 11 и 13, то есть на 1001. Сле­до­ва­тель­но, у каж­до­го ше­сти­знач­но­го числа (abcabc) цифры через две сов­па­да­ют, а у 2021  — нет.

До­ка­за­тель­ство. Пусть x₁, x₂, ..., x₆  — го­ри­зон­таль­ные числа в квад­ра­те, а y₁, y₂, ..., y₆  — вер­ти­каль­ные. Тогда

то есть 11 из 12 сла­га­е­мых де­лят­ся на 7, 11 и 13, сле­до­ва­тель­но, и 12-е тоже.

До­ка­жем это ра­вен­ство: пусть

тогда

Но ведь

тогда

Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: нет.

Число в белой клет­ке со­сто­ит из двух сла­га­е­мых: «го­ри­зон­таль­но­го» и «вер­ти­каль­но­го». Рас­смот­рим от­дель­но сумму всех «го­ри­зон­таль­ных» и от­дель­но сумму всех «вер­ти­каль­ных» сла­га­е­мых по всей таб­ли­це. Если мы мак­си­ми­зи­ру­ем каж­дую из этих двух сумм по от­дель­но­сти, общая сумма также будет наи­боль­шей.

Рас­смот­рим сумму «го­ри­зон­таль­ных» сла­га­е­мых. Если в стро­ке на­хо­дит­ся x_i чёрных кле­ток и белых, то сумма го­ри­зон­таль­ных сла­га­е­мых в этой стро­ке со­став­ля­ет Про­сум­ми­ро­вав эту сумму по всем стро­кам, мы по­лу­ча­ем

Таким об­раз­но, мы по­лу­ча­ем, что наи­мень­шая воз­мож­ная сумма «го­ри­зон­таль­ных» сла­га­е­мых равна Ана­ло­гич­ную оцен­ку можно по­лу­чить для суммы «вер­ти­каль­ных» сла­га­е­мых, что даёт нам ито­го­вое зна­че­ние 234.

Оста­лось убе­дить­ся, что су­ще­ству­ет рас­крас­ка таб­ли­цы, при ко­то­рой обе суммы мак­си­маль­ны од­но­вре­мен­но, то есть в ко­то­рой в каж­дом столб­це или стро­ке по 2 или 3 за­кра­шен­ных клет­ки.

Ответ: 234.

Число в белой клет­ке со­сто­ит из двух сла­га­е­мых: «го­ри­зон­таль­но­го» и «вер­ти­каль­но­го». Рас­смот­рим от­дель­но сумму всех «го­ри­зон­таль­ных» и от­дель­но сумму всех «вер­ти­каль­ных» сла­га­е­мых по всей таб­ли­це. Если мы мак­си­ми­зи­ру­ем каж­дую из этих двух сумм по от­дель­но­сти, общая сумма также будет наи­боль­шей.

Рас­смот­рим сумму «го­ри­зон­таль­ных» сла­га­е­мых. Если в стро­ке на­хо­дит­ся x чёрных кле­ток и белых, то сумма го­ри­зон­таль­ных сла­га­е­мых в этой стро­ке со­став­ля­ет Эта ве­ли­чи­на мак­си­маль­на при и и равна 12. Зна­чит, мак­си­маль­ная сумма "го­ри­зон­таль­ных" сла­га­е­мых со­став­ля­ет а всех чисел, со­от­вет­ствен­но, 168.

Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для шах­мат­ной рас­крас­ки  — легко убе­дить­ся, что в каж­дой стро­ке и каж­дом столб­це дей­стви­тель­но 3 или 4 чёрных клет­ки.

Ответ: 168.

Число в белой клет­ке со­сто­ит из двух сла­га­е­мых: «го­ри­зон­таль­но­го» и «вер­ти­каль­но­го». Рас­смот­рим от­дель­но сумму всех «го­ри­зон­таль­ных» и от­дель­но сумму всех «вер­ти­каль­ных» сла­га­е­мых по всей таб­ли­це. Если мы мак­си­ми­зи­ру­ем каж­дую из этих двух сумм по от­дель­но­сти, общая сумма также будет наи­боль­шей.

Рас­смот­рим сумму «го­ри­зон­таль­ных» сла­га­е­мых. Если в стро­ке на­хо­дит­ся x чёрных кле­ток и белых, то сумма го­ри­зон­таль­ных сла­га­е­мых в этой стро­ке со­став­ля­ет

Эта ве­ли­чи­на мак­си­маль­на при и равна 16. Зна­чит, мак­си­маль­ная сумма «го­ри­зон­таль­ных» сла­га­е­мых со­став­ля­ет а всех чисел, со­от­вет­ствен­но, 256. Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, для шах­мат­ной рас­крас­ки  — легко убе­дить­ся, что в каж­дой стро­ке и каж­дом столб­це дей­стви­тель­но 4 чёрных клет­ки.

Ответ: 256.

Пусть левая по­ло­ви­на таб­ли­цы за­пол­не­на чис­ла­ми a, ..., h как по­ка­за­но на левом ри­сун­ке. Так как из ра­венств a  =  b + c и c  =  a + d + e сле­ду­ет ра­вен­ство b + d + e  =  0, то верно, хотя одно из не­ра­венств или

Ана­ло­гич­но уста­нав­ли­ва­ет­ся, что верно хотя бы одно из не­ра­венств или Зна­чит, в левой по­ло­ви­не таб­ли­цы не более 6 по­ло­жи­тель­ных чисел. Ясно, что такое утвер­жде­ние верно и для пра­вой по­ло­ви­ны, а всего в таб­ли­це не более 12 по­ло­жи­тель­ных чисел.

При­мер таб­ли­цы, удо­вле­тво­ря­ю­щей усло­ви­ям за­да­чи и со­дер­жа­щей 12 по­ло­жи­тель­ных чисел по­ка­зан на пра­вом ри­сун­ке.

Ответ: 12.

Пусть это уда­лось. Числа в со­сед­них углах раз­ли­ча­ют­ся на 1, так как каж­дое из них до­пол­ня­ет че­ты­ре клет­ки между ними до пря­мо­уголь­ни­ка Пусть a  — наи­мень­шее число из уг­ло­вых. Тогда в со­сед­них с ним углах стоят числа a + 1. Про­ти­во­ре­чие.

Ответ: нель­зя.

Пусть x < 0, тогда ва­ри­ан­ты сле­ду­ю­щие:

1)  

2)  

3)   или

4)  

5)   (или

6)  

7)   (или

Пусть x > 0, тогда ва­ри­ан­ты сле­ду­ю­щие:

1)  

2)  

3)   (или

4)  

5)   (или

6)  

7)   (или

8)  

9)  

10)   (или

11)   (или

12)   (или

13)   (или

(Чтобы по­нять, что это все ва­ри­ан­ты, за­ме­тим, что каж­дый пе­ре­ход дол­жен иметь один из пяти видов

Зна­чит, для двух пе­ре­хо­дов под­ряд есть 25 ва­ри­ан­тов; но из от­ри­ца­тель­но­го числа из­влечь ко­рень чётной сте­пе­ни нель­зя, по­это­му для по­ло­жи­тель­но­го x остаётся 23 ва­ри­ан­та, все из ко­то­рых ука­за­ны выше. Для от­ри­ца­тель­но­го, как не­труд­но по­нять из ана­ло­гич­ных со­об­ра­же­ний, ва­ри­ан­тов будет 11.) Зна­чит, N раз­лич­ным чис­лам из ниж­ней стро­ки могут со­от­вет­ство­вать не более 13N чисел из верх­ней. Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да N > 13, то есть

При­ведём при­мер с 14 раз­лич­ны­ми чис­ла­ми в ниж­ней стро­ке. Пусть пер­вые 13 чисел в ниж­ней стро­ке равны 2⁷⁸⁴ (здесь в верх­ней стро­ке рас­ста­вим раз­лич­ные со­от­вет­ству­ю­щие числа в со­от­вет­ствии с при­ведённым спис­ком. Все они будут иметь вид для целых k > 0. Сле­ду­ю­щие 13 чисел в ниж­ней стро­ке ана­ло­гич­но сде­ла­ем рав­ны­ми 3⁷⁸⁴, потом 5⁷⁸⁴ и так далее, пе­ре­брав таким об­ра­зом пер­вые 14 про­стых ос­но­ва­ний (по­след­нее из них займёт один остав­ший­ся стол­бец).

Ответ: 14.

The numbers are written in the cells of the specified diagonal ..., That is, in general, numbers of the form for integers k from 1 to 100. This is the equation of a standard parabola with branches downwards, with roots at points 0 and 101. The abscissa of its vertex is To the left of it, i. e. on the interval this function increases, i.e. its maximum value at and is equal to

To the right of the vert ex, i. e. at this function decreases and similarly its maximum is reached when k  =  51 and is also equal to 2550. Thus, the maximum number on the diagonal is 2550.

В клет­ках у ка­зан­ной диа­го­на­ли за­пи­са­ны числа ..., То есть в общем виде  — числа вида при целых k от 1 до 100. Это урав­не­ние стан­дарт ной па­ра­бо­лы вет­вя­ми вниз, с кор­ня­ми в точ­ках 0 и 101. Абс­цис­са её вер­ши­ны равна Левее неё, то есть на ин­тер­ва­ле эта функ­ция воз­рас­та­ет, то есть мак­си­маль­ное её зна­че­ние при и равно

Пра­вее же вер­ши­ны, то есть на эта функ­ция убы­ва­ет и ана­ло­гич­но её мак­си­мум до­сти­га­ет­ся при k  =  51 и равен также 2550. Таким об­ра­зом, мак­си­маль­ное число на диа­го­на­ли равно 2550.

Ответ: 2550.

Будем обо­зна­чать клет­ки квад­ра­та па­ра­ми (i,  j), где Ну­ме­ра­цию нач­нем с ниж­не­го ле­во­го угла квад­ра­та.

Клет­ка (i,  j) яв­ля­ет­ся пра­вой край­ней для го­ри­зон­таль­но­го пря­мо­уголь­ни­ка, если   — не­ра­вен­ство (1), и левой край­ней, если   — не­ра­вен­ство (2). Клет­ка (i,  j) яв­ля­ет­ся верх­ней край­ней для вер­ти­каль­но­го пря­мо­уголь­ни­ка, если   — не­ра­вен­ство (3), и ниж­ней край­ней, если   — не­ра­вен­ство (4). При этом нас ин­те­ре­су­ет ко­ли­че­ство кле­ток квад­ра­та, для ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся не менее трех не­ра­венств из (1)–(4).

Сна­ча­ла най­дем ко­ли­че­ство кле­ток, для ко­то­рых верны все не­ра­вен­ства. Это клет­ки, для ко­то­рых и Их

Те­перь вы­чис­лим ко­ли­че­ство кле­ток, для ко­то­рых не верно не­ра­вен­ство (1), но верны (2)–(4), то есть и Таких кле­ток

Легко ви­деть, что из-за сим­мет­рии (квад­ра­та) ко­ли­че­ство кле­ток, для ко­то­рых верны дру­гие на­бо­ры трех не­ра­венств, будут та­ки­ми же. В сумме по­лу­ча­ем

Ответ: 1600.

Раз­ме­стим в квад­ра­те 25 фи­гу­рок, не име­ю­щих общих кле­ток (см. лев. рис.). В каж­дой из них рас­по­ла­га­ет­ся хотя бы одна еди­ни­ца, по­это­му всего еди­ниц не мень­ше 25. Под­хо­дя­щая рас­ста­нов­ка 25 еди­ниц: во всех клет­ках с чет­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми (см. прав. рис.).

Ответ: 25.

Раз­ме­стим в квад­ра­те 16 фи­гу­рок, не име­ю­щих общих кле­ток (см. рис. 1). В каж­дой из них рас­по­ла­га­ет­ся хотя бы один ноль, по­это­му всего нулей не мень­ше 16, а еди­ниц не боль­ше чем Под­хо­дя­щая рас­ста­нов­ка 65 еди­ниц: во всех клет­ках с чет­ны­ми ко­ор­ди­на­та­ми ста­вим нули, а в осталь­ных клет­ках еди­ни­цы (см. рис. 2).

Ответ: 65.

За­ме­тим, что сумма чисел в двух со­сед­них клет­ках не боль­ше пяти, по­сколь­ку в про­тив­ном слу­чае сумма чисел в со­дер­жа­щем эти две клет­ки квад­ра­те будет не мень­ше вось­ми, что не­воз­мож­но по усло­вию.

Разо­бьем таб­ли­цу на 49 квад­ра­тов и уго­лок ши­ри­ны 1. Уго­лок разо­бьем на уг­ло­вую клет­ку и 14 до­ми­но­шек Сумма чисел в каж­дом квад­ра­те равна 7, сумма чисел в каж­дой до­ми­нош­ке не пре­вос­хо­дит 5, число в уг­ло­вой клет­ке не боль­ше 4, по­это­му сумма всех чисел в таб­ли­це не пре­вос­хо­дит

При­мер. Про­ну­ме­ру­ем го­ри­зон­та­ли и вер­ти­ка­ли таб­ли­цы чис­ла­ми от 1 до 15 слева на­пра­во и снизу вверх. В клет­ки, на­хо­дя­щи­е­ся на пе­ре­се­че­ни­ях не­чет­ных го­ри­зон­та­лей и вер­ти­ка­лей, по­ме­стим чет­вер­ки, в осталь­ные клет­ки по­ме­стим еди­ни­цы (см. рис.). Сумма всех чисел равна

Ответ: 417.

В одной стро­ке не менее 10 раз­лич­ных чисел, по­это­му в сле­ду­ю­щих трех стро­ках вме­сте по­яв­ля­ет­ся не более 5 новых чисел. Стало быть, пер­вые че­ты­ре стро­ки со­дер­жат не более 15 раз­лич­ных чисел, а каж­дые сле­ду­ю­щие три стро­ки дают не более 5 новых чисел и всего чисел не боль­ше, чем

При­ве­дем при­мер на 175 чисел. За­ну­ме­ру­ем стро­ки чис­ла­ми от 1 до 100. В пер­вой стро­ке по­ста­вим числа от 1 до 10, а в стро­ке с но­ме­ра­ми от  до  по­ста­вим числа от 1 до 5 и числа от  до  Тогда в каж­дой стро­ке будет 5 уни­каль­ных чисел и еще числа от 1 до 5, то есть ровно 10 раз­лич­ных чисел, а в каж­дых че­ты­рех стро­ках будет ровно 15 раз­лич­ных чисел. Таким об­ра­зом, в таб­ли­це будут числа от 1 до 

Ответ: 175.

За­ме­ча­ние.

До­ка­зать, что ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел в таб­ли­це не пре­вос­хо­дит 175 можно до­ка­зать и по ин­дук­ции. А имен­но, до­ка­зать, что в любых под­ряд иду­щих стро­ках рас­по­ло­же­но не более чем раз­лич­ных чисел. База n  =  1 верна по усло­вию. Уста­но­вим пе­ре­ход от n к n + 1. Рас­смот­рим под­ряд иду­щие стро­ки. Пусть в чет­вер­той с конца стро­ке име­ет­ся раз­лич­ных чисел. Тогда в трех самых ниж­них стро­ках не более чем раз­лич­ных чисел. А в остав­ших­ся стро­ке по ин­дук­ци­он­но­му пред­по­ло­же­нию не боль­ше чисел. По­это­му всего раз­лич­ных чисел будет более чем

Пусть ко­ли­че­ство строк, сумма чисел в ко­то­рых на один мень­ше, чем в столб­цах с тем же но­ме­ром, равно m. Тогда ко­ли­че­ство строк, сумма чисел в ко­то­рых на два боль­ше, чем в столб­цах с тем же но­ме­ром, равно Сле­до­ва­тель­но, сумма всех чисел, под­счи­тан­ная по стро­кам, на от­ли­ча­ет­ся от суммы чисел, под­счи­тан­ной по столб­цам. Стало быть, 2n  =  3m и, зна­чит, n де­лит­ся на три.

При­ве­дем при­мер нуж­ной рас­ста­нов­ки для n де­ля­щих­ся на три. При k от 1 до  по­ста­вим еди­ни­цы клет­ках, рас­по­ло­жен­ных в пе­ре­се­че­нии строк с но­ме­ра­ми и 2k со столб­цом с но­ме­ром а осталь­ные клет­ки за­пол­ним ну­ля­ми. Опи­сан­ная рас­ста­нов­ка чисел для n  =  9 при­ве­де­на на ри­сун­ке, в пу­стых клет­ках стоят нули.

Ответ: при n, де­ля­щих­ся на три.

Если n нечётно, то в таб­ли­це сумма всех чисел, под­счи­тан­ная по стро­кам, на нечётное число от­ли­ча­ет­ся от суммы чисел, под­счи­тан­ной по столб­цам. Но это не­воз­мож­но. В таб­ли­це с чётным n можно за­пол­нить двой­ка­ми верх­нюю по­ло­ви­ну диа­го­на­ли таб­ли­цы, иду­щей из ле­во­го ниж­не­го угла в пра­вый верх­ний, а осталь­ные клет­ки за­пол­нить еди­ни­ца­ми. Опи­сан­ная рас­ста­нов­ка чисел для n  =  10 при­ве­де­на на ри­сун­ке.

Ответ: при чет­ных n.