Всего: 95 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–95
Добавить в вариант
От элементов каждой строки таким образом мы суммарно отняли 0 и суммы по строкам остались нулевыми, а по столбцам — стали нулевыми и ситуация стабилизировалась.
Верно ли, что рано или поздно числа перестанут меняться?
и 
Теперь суммы и по строчкам и по столбцам все равны нулю, значит, ситуация стабилизировалась.
из 
то есть все изменения не больше 0,01.
где α — угол между U и V и поэтому стремится к нулю (это задача 4.2.)
и расстановкой из 
Наши операции линейны, поэтому можно смотреть по отдельности на эти два случая — первый дает стремление к нулю, а второй — постоянную последовательность (это 4.3).2.2 Пусть P = 7, а каждое число во второй строке в три раза больше своего соседа из первой строки. Докажите, что числа в двух центральных клетках делятся на 7.
Развернуть
(P − 1) (P строк и P − 1 столбец) так, чтобы у каждого числа остаток от деления на P был таким же, как и у суммы соседних с ним по стороне чисел.
а его сосед из второй строчки 
Далее из условия на сумму мы получаем очередное число первой строки, из доп. условия второго пункта — очередное число второй строки. После заполнения первых двух строк остальные строки заполняется однозначно:
Чему может быть равно P?
то P не может быть больше 5. Нетрудно заметить, что среди 
подходит только 
2.3 Пусть каждое число во второй строке в K раз больше своего соседа из первой строки. Докажите, что каждое число из этой таблицы, умноженное на K, дает такой же остаток при делении на P, как и сумма соседних с ним по столбцу чисел.
Развернуть
Утверждение Q(i) верно, т. к. можем взять 
Утверждение P(i) верно, т. к. соседи x по столбцу — 0 и Kx (по условию).
строчки, x, z, w — его соседи (могут быть крайними нулями). Обозначим 
(левая таблица), после чего P(i) (правая таблица): 
для y. 
из этого следует выполнение 
для y, т. к. 
вся строчка равна нулю, и следующая часть таблицы будет антисимметрична предыдущей, а тогда для нее 
где 
задается рекуррентным соотношением 
при 
(т. е. центральная строчка состоит из нулей) и 
для остальных строчек. 
дает половину ненулевых остатков (каждого по два), а последняя строчка антисимметрична ей, т. е. дает остальные ненулевые остатки (тоже по два). Это свойство не меняется при домножении на ненулевое число, поэтому в остальных парах строчек тоже поровну ненулевых остатков.
последовательность 
так и воспользовавшись полезными знаниями про числа Фибоначчи.Таблица размером 
заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения p.
обозначим цифру, стоящую на пересечении 
и 
Пусть, например, 
при всех 
(эти цифры можно выбрать и любыми другими), 
а остальные цифры равны p. Тогда все числа, читаемые по строкам и столбцам, кроме 
заканчиваются на p и, как следствие, делятся на p, а 
заканчивается на 1 и поэтому на p не делится.
кроме одного, делятся на p, а оставшееся на p не делится, то в одной из двух последних сумм все слагаемые делятся на p (значит, S делится на p), а в другой сумме все слагаемые, кроме одного, делятся на p, а оставшееся, в силу взаимной простоты p и степеней десятки, на p не делится (значит, S не делится на p). Противоречие.В таблице 
расставлены 16 различных натуральных чисел. Для каждой строки и каждого столбца таблицы нашли наибольший общий делитель расположенных в нем чисел. Оказалось, что все найденные восемь чисел различны. Для какого наибольшего n можно утверждать, что в такой таблице найдется число не меньше n?
(А. Храбров)
Для таблички n × n рассматриваем семейство квадратов 2 × 2, состоящих из клеток таблицы, и обладающее свойством: для любого квадрата семейства найдется покрытая им клетка, не покрытая никаким другим квадратом из семейства. Через f(n) обозначим максимальное количество квадратов в таком семействе.
Для какого наименьшего C неравенство f(n) ≤ Cn2 верно при любом n?
Во-первых, докажем что 
Для этого полезно доказать более сильное утверждение: для произвольной фигуры из S клеток количество квадратов 2 × 2 в семействе, таком что все квадраты лежат в фигуре и для любого квадрата найдется клетка, покрытая только им, не превосходит 
Рассмотрим два случая: для семейства найдется клетка A, покрытая четырьмя квадратами, и случай, когда такой клетки не найдется.
В этот момент доказательства еще не поздно решить, что на самом-то деле мы ведем индукцию по S :), благо база тривиальна. Итак, всего квадратов в семействе оказывается не больше 
заряда (таким образом, раздаст весь свой заряд). Тогда каждый квадрат семейства получил заряд не меньше 2, потому что минимум от одной клетки получил 1, и от остальных получал не меньше 
от каждой. Итого, всего полученного заряда не меньше чем дважды число квадратов в семействе, а отданного заряда не больше S, итого квадратов в семействе не больше 
при 
неверно при всех достаточно больших n.
в который черных клеток попало не меньше чем белых, то есть хотя бы 
Теперь на каждую черную клетку внутри квадрата 
положим квадрат 2 × 2 так, чтобы кроме этой черной клетки квадрат содержал только белые (это можно сделать единственным образом). Удалим все квадраты 2 × 2, частично вылезшие за границы квадрата 
22 балла. 
12 баллов.Квадрат 
называется магическим, если в его клетках числа от 1 до 9 расставлены таким образом, что суммы чисел во всех строках, столбцах и диагоналях равны друг другу. Докажите, что в средней клетке любого такого магического квадрата стоит одно и то же число. Сколько всего существует таких квадратов?
Далее, сложив все числа, стоящие на отрезках, проходящих через центральный квадрат, получим: 
В клетках бесконечной доски расставлены натуральные числа так, что для любых пяти клеток, расположенных в форме креста, центральное число есть среднее арифметическое четырех других. Докажите, что во всех клетках доски стоит одно и то же число. Верно ли это утверждение, если предполагается, что числа являются целыми?
стоящее в квадрате с координатами 
равно 
то выполнены условия задачи.В клетках таблицы 9 на 9 некоторым образом расставлены все натуральные числа от 1 до 81 включительно, по одному в клетке. Разрешается выбрать квадрат произвольного размера, стороны которого идут по линиям сетки и спросить, каково множество чисел, записанных во всех клетках указанного квадрата. За какое наименьшее число таких вопросов всегда можно полностью восстановить расстановку чисел во всех клетках квадрата 9 на 9?
В каждой клетке таблицы 5 × 5 записано одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5 таким образом, что в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей таблицы встречается каждое из чисел от 1 до 5. Какое максимальное значение может принимать сумма пяти чисел, записанных в клетках, отмеченных на рисунке точками?
В каждой клетке таблицы 3 на 3 записано некоторое целое число так, что все восемь сумм троек чисел, записанных в клетках каждой строки, каждого столбца и каждой из двух диагоналей, равны одному числу S (то есть таблица является магическим квадратом 3 на 3). Доказать, что S делится на 3.
В каждую клетку шахматной доски 8 ⨯ 8 записали некоторое натуральное число, не превосходящее 7. Сказочная шахматная фигура кузнечик стоит в одной из угловых клеток. Каждым своим ходом кузнечик может прыгнуть в клетку, стоящую в той же горизонтали или вертикали, что и кузнечик, и отстоящую от кузнечика на столько клеток, какое число записано в клетке с кузнечиком (в частности, если в клетке с кузнечиком записано число 1, он может переместиться на одну из соседних с ним по горизонтали или по вертикали клеток). Известно, что за 63 прыжка кузнечик может посетить все клетки доски, побывав в каждой ровно один раз. Какое наибольшее количество троек могло быть написано в клетках доски?
Даны n различных положительных чисел. Из них составляются всевозможные суммы c числом слагаемых от 1 до n.
а) Какое наименьшее количество различных значений сумм можно получить?
б) Какое наибольшее количество различных значений сумм можно получить?
Рассмотрим числа (см. таблицу).
различных сумм получить не удастся. Для этого подойдет набор из первых n натуральных чисел, из которых нельзя составить больше, чем 
дают пример n различных чисел, из которых можно образовать наибольшее количество различных сумм. Сумма любых k чисел этого набора это число, в десятичной записи которого используются только 1 и 0. Каждая такая сумма может быть представлена в виде 
Единственный невозможный набор, составленный из n нулей, необходимо исключить, поэтому общее количество допустимых наборов равно 
б) Натуральные
Натуральные
В каждой клетке квадратной таблицы размером 200 × 200 написали по действительному числу, по модулю не
не подойдет. Разделим таблицу на четыре квадрата 100 × 100. Правый верхний квадрат заполним числами +1, а левый нижний — числами −1. Остальные клетки заполним нулями. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце сумма равна ±100.
подходит. Предположим, что для некоторой таблицы это не так, то есть суммы во всех её строках и столбцах оказались либо больше 100, либо меньше −100. Заметим, что можно менять местами строки в таблице, не нарушая это свойство и условие задачи.
