Квадрат 
называется магическим, если в его клетках числа от 1 до 9 расставлены таким образом, что суммы чисел во всех строках, столбцах и диагоналях равны друг другу. Докажите, что в средней клетке любого такого магического квадрата стоит одно и то же число. Сколько всего существует таких квадратов?
Пусть x — сумма чисел по строкам (столбцам, диагоналям) (см. рис.). Поскольку
Далее, сложив все числа, стоящие на отрезках, проходящих через центральный квадрат, получим: 
Покажем другой подход. Число 15 можно представить как сумму трех различных чисел от 1 до 9 следующими способами:
Число 5 участвует в четырех таких суммах, 1, 3, 7, и 9 — в двух, все остальные числа — в трех. Следовательно, в центре стоит 5, а числа 2, 4, 6, 8 располагаются в углах квадрата.
Прежде чем ответить на другой вопрос, надо определить, какие же магические квадраты будут считаться одинаковыми. Ясно, что если поменять местами строки и столбцы (то есть отразить квадрат относительно диагонали), то квадрат останется магическим. Давайте считать одинаковыми квадраты, получающиеся один из другого при помощи отражений относительно средних линий и диагоналей. Пусть число 2 стоит в некотором углу; применяя отражения, его можно поместить в левый верхний угол, тогда в противоположном углу стоит число 8. Числа 4 и 6 располагаются в двух оставшихся углах, симметрией относительно диагонали переведем 4 в правый верхний угол. Остальные числа расставляются далее однозначно.
Ответ: в центре стоит 5; смотря как считать.