РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Квадрат $3\times3$ называется магическим, если в его клетках числа от 1 до 9 расставлены таким образом, что суммы чисел во всех строках, столбцах и диагоналях равны друг другу. Докажите, что в средней клетке любого такого магического квадрата стоит одно и то же число. Сколько всего существует таких квадратов?

Решение. Пусть x  — сумма чисел по строкам (столбцам, диагоналям) (см. рис.). Поскольку

$3x=a плюс b плюс \ldots плюс i=1 плюс 2 плюс \ldots плюс 9=45,$

то $x=15.$ Далее, сложив все числа, стоящие на отрезках, проходящих через центральный квадрат, получим:

$60=4x=a плюс \ldots плюс i плюс 3e=45 плюс 3e,$

откуда $e=5.$

Покажем другой подход. Число 15 можно представить как сумму трех различных чисел от 1 до 9 следующими способами:

$1 плюс 5 плюс 9;$ $1 плюс 6 плюс 8;$ $2 плюс 4 плюс 9;$ $2 плюс 5 плюс 8;$

$2 плюс 6 плюс 7;$ $3 плюс 4 плюс 8;$ $3 плюс 5 плюс 7;$ $4 плюс 5 плюс 6.$

Число 5 участвует в четырех таких суммах, 1, 3, 7, и 9  — в двух, все остальные числа  — в трех. Следовательно, в центре стоит 5, а числа 2, 4, 6, 8 располагаются в углах квадрата.

Прежде чем ответить на другой вопрос, надо определить, какие же магические квадраты будут считаться одинаковыми. Ясно, что если поменять местами строки и столбцы (то есть отразить квадрат относительно диагонали), то квадрат останется магическим. Давайте считать одинаковыми квадраты, получающиеся один из другого при помощи отражений относительно средних линий и диагоналей. Пусть число 2 стоит в некотором углу; применяя отражения, его можно поместить в левый верхний угол, тогда в противоположном углу стоит число 8. Числа 4 и 6 располагаются в двух оставшихся углах, симметрией относительно диагонали переведем 4 в правый верхний угол. Остальные числа расставляются далее однозначно.

Ответ: в центре стоит 5; смотря как считать.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	5398	в центре стоит 5; смотря как считать.

Ключ