Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91
Добавить в вариант
На отрезках AM и 
отмечены соответственно точки K и T так, что MK = MB и NT = NA. Докажите, что прямые MN и KT параллельны.
чертёж будет выглядеть, как показано на рисунке (P. S. при равенстве 
точки K и T совпали бы с пересечением отрезков AM и NB).
как опирающиеся на хорду AN и 
как опирающиеся на хорду NM (углы отмечены на рисунке).
(аналогично в треугольнике BMK). Тогда имеем: 
Поэтому 
Пусть AM и BN — высоты остроугольного треугольника ABC, в котором 
На отрезках AM и BN отмечены соответственно точки K и T так, что MK = MB и NT = NA. Докажите, что прямые MN и KT параллельны.
чертёж будет выглядеть, как показано на рисунке (P. S. при равенстве 
опирающихся на общую хорду AT. Но 
Следовательно, 
что и доказывает параллельность MN и KT.
Из условия 
следует, что отрезок A'C' равен радиусу построенной окружности. Значит, дуга, стягиваемая хордой A'C', составляет 60°. Отсюда угол C'CA', опирающийся на эту дугу, равен 30°.
(см. левый рис.); если же угол B — тупой, то 
(см. правый рис.), и, значит, 
Дан треугольник ABC. Из точки P внутри него опущены перпендикуляры PA', PB', PC' на стороны BC, CA, AB соответственно. Затем из точки P опущены перпендикуляры PA'', PB'' на стороны B'C' и C'A'
соответственно. Докажите, что PA · PA' · PA'' = PB · PB' · PB''.
Поэтому прямоугольные треугольники PB'A'' и PAC' подобны и 
Это равносильно 
как вписанные. С другой стороны, углы P H A и HBA равны, так как они оба дополняют угол BAH до прямого. Углы AQP и ABC равны, а значит, четырехугольник BPQC можно вписать в окружность. Тогда равны и углы BPC и BQC как вписанные. Искомое равенство получается, если из каждого из них вычесть 90°.В вершинах правильного n-угольника расставлены числа от 1 до n в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят
минут.
дуг, то есть совершит t полных оборотов и вернется в вершину с числом 1. Таким образом, путь из вершины n в вершину 1 также занимает t минут. Заметим, что за время 
муравей переползает из вершины с числом 13 в вершину с числом 31. Получается, что через 18t минут муравей оказывается в соседней вершине. В частности, за это время он переползет из вершины с числом 54 в вершину с числом 13. За эти 18t минут муравей 18 раз переползет в вершину с следующим числом, т. е. в последовательности 
n, 1, 
В вершинах правильного n-угольника расставлены числа от 1 до n в некотором порядке. При этом расстояния между вершинами, в которых стоят последовательные числа, одинаковые. Такое же расстояние между вершинами, в которых стоят числа 1 и n. Оказалось, что вершина с числом 20 соседствует с вершинами, соответствующими числам 158 и 45. Найдите n.
муравей переползает из вершины с числом 20 в вершину с числом 45. Получается, что через 25t минут муравей оказывается в соседней вершине. В частности, за это время он переползет из вершины с числом 158 в вершину с числом 20. За эти 25t минут муравей 25 раз переползет в вершину с следующим числом, т. е. в последовательности 
или 
Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что про неё известно следующее свойство: если к сумме квадратов всех сторон треугольника прибавить утроенную сумму всех квадратов расстояний от точки M до вершин треугольников, то получится величина, которая не превосходит 24 · x. Найдите сторону треугольника y, если известно, что площадь треугольника ABC не менее 
При необходимости округлите найденное значение до двух знаков после запятой.
Остальные углы доказываются аналогично. Пусть O — центр описанной окружности вокруг треугольника ABC. Поскольку во вœх переходах в неравенствах должен стоять знак равно, то M — точка пересечения высот и 
Найти острые углы треугольника ABC.
и 
то около четырехугольника ACNM можно описать окружность. Рассмотрим треугольник MCH. Он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора имеем: 
из чего следует, что 
Так как хорда MN параллельна прямой CH, то
Вычислим угол CMH: 
Тогда 
и 
По теореме о сумме углов треугольника BOA получаем 
Из условия 
(вертикальные углы) получаем уравнение 
Следовательно, 
B треугольнике ODC: 
по условию, 
так как 
Осталось найти угол ABC:
Получаем 
На отрезках AD и CD выбраны точки X и Y так, что 
На сторонах AB и BC выбраны точки Z и T соответственно так, что 
и 
Найдите 
на отрезке 
можно отметить такую точку P, что 
В треугольнике AZP медиана 
равна половине стороны 
поэтому он прямоугольный: 
Аналогично, 
Таким образом, точки T и Z лежат на окружности с диаметром BP. На ней же лежит и точка D (ибо 
также прямой). Следовательно, четырехугольник 
(по определению биссектрисы). Значит, 
отсюда треугольник BMP равнобедренный: 
Стало быть, точка M равноудалена от вершин треугольника BCP, то есть M — центр описанной окружности, а лежит M на стороне этого треугольника. Поэтому треугольник BPC — прямоугольный, а точки P и A лежат на окружности с диаметром BC. Углы BCA и BPA равны как опирающиеся на одну дугу.
На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром O. Найдите OC, если 
значит, 
квадрата, то есть его центром. Тогда OC — радиус этой окружности. Таким образом, 
Диагонали трапеции RSQT с основаниями RS и QT пересекаются в точке A под прямым углом. Известно, что основание RS больше основания QT и угол R прямой. Биссектриса угла RAT пересекает RT в точке U, а прямая, проходящая через точку U параллельно RS, пересекает прямую SQ в точке W. Докажите, что
используя равенство площадей трапеций: 
поэтому вокруг него можно описать окружность; а поскольку AU — биссектриса, то 
а 
т. к. коэффициент подобия треугольников RUY и RTQ равен коэффициенту подобия треугольников SWZ и SQT. 
Тетраэдр ABCD с остроугольными гранями вписан в сферу с центром О. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно плоскости ABC, пересекает сферу в точке E такой, что D и E лежат по разные стороны относительно плоскости ABC. Прямая DE пересекает плоскость ABC в точке F, лежащей внутри треугольника ABC. Оказалось, что 
и 
Найдите величину угла ACB.
Значит, 
Из вписанности четырехугольника AEXD следует, что 
Раз 
то E — середина дуги AX описанной окружности треугольника ADE, и, значит, 
которое влечет за собой равенство 
Аналогичными рассуждениями получаем, что 
и, следовательно, 
Отметим, что это равенство можно вывести и из теоремы косинусов для трехгранных углов. 
значит, имеет место второй. Тогда 
и является центральным для угла ACB в описанной окружности треугольника ACB. В результате заключаем, что 
(+1 балл). 
(+1 балл). 
(+1 балл). Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину А и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые ВС и GF пересекаются в точке Т, а прямые СD и EF — в точке H. Докажите, что точки А, Н и T лежат на одной прямой.
Так как 
значит, 
следовательно, точки M, A и N лежат на одной прямой. Тогда H — ортоцентр треугольника TMN, а точки T, H и A лежат на его высоте.