Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91
Добавить в вариант
На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что 
и
Найдите длину отрезка MP.
и 
следуют равенства 
и 
соответственно, то 
и равнобедренность треугольника LPN, нетрудно найти углы 
и 
Применив теорему синусов, получим 
На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что 
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
следует, что прямая MP — серединный перпендикуляр к отрезку LN; с учётом условия 
это означает, что Q — середина дуги NL описанной окружности треугольника NBL, причём дуга не содержит точку B. По
получаем равенство
и 
Четырехугольник OBFC — параллелограмм, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам (по условию 
и 
по построению). В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, 
Отсюда 
и 
Следовательно. 
Так как 
то 
и 
то 
Пусть точка M (x, y) обладает указанным в задаче свойством. Тогда
или 
Основания трапеции ABCD связаны соотношением
сумма углов 
На боковых сторонах выбраны точки M и N таким образом, что
Перпендикуляры, восстановленные в точках M и N к боковым сторонам трапеции, пересекаются в точке O. Найдите AD, если 
Поэтому 
Следовательно, MO — серединный перпендикуляр к стороне AS. Аналогично, NO — серединный перпендикуляр к DS. Таким образом, точка O — центр описанной около треугольника ASD окружности, а AO — ее радиус. Запишем формулу для радиуса описанной окружности 
и, значит, 
Поскольку ∠C = ∠B = ∠DEC, треугольник DEC — равнобедренный, и DE = DC.
поэтому 
и так как DC = AE, отсюда получаем BD = BE. Таким образом, треугольник BDE — равнобедренный, и ∠BDE = ∠BED.
Сумма углов треугольника BDE равна 
то есть α=20°, ∠ABC = ∠BCA = 40° и ∠BAC = 100°.В треугольнике KIA на стороне KI отметили точку V такую, что KI = VA. Затем внутри треугольника отметили точку X такую, что угол XKI равен половине угла AVI, а угол XIK равен половине угла KVA. Пусть O — точка пересечения прямой AX и стороны KI. Верно ли, что KO = VI?
Кроме того, 
средняя линия треугольника AOV. Отсюда 
и 
Из точки K на стороне AC треугольника ABC опустили перпендикуляры KL1 и KM1 на стороны AB и BC соответственно. Из точки L1 опустили перпендикуляр L1L2 на BC, а из точки M1 перпендикуляр M1M2 на AB. Оказалось, что треугольники BL1M1 и BL2M2 подобны (точка L1 в первом треугольнике соответствует точке M2 во втором). Кроме того, BL2 = 6 и L2M1 = 4. Найдите L1L2.
Поэтому 
поэтому треугольники BL1M1 и BL2M2 подобны, причём точка L1 в первом треугольнике соответствует точке L2 во втором. Однако в условии написано, что они подобны и другим образом, значит, эти два треугольника равнобедренные. Отсюда получаем, что 
и, по теореме Пифагора, находим 
Два прямоугольника ABCD и AEFG имеют общую вершину A и расположены на плоскости так, что точки B, E, D и G лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть прямые BC и GF пересекаются в точке T, а прямые CD и EF — в точке H. Докажите, что точки A, H и T лежат на одной прямой.
Так как 
значит, 
следовательно, точки M, A и N лежат на одной прямой. Тогда H — ортоцентр треугольника TMN, а точки T, H и A лежат на его высоте.На сторонах BC, CA и AB неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. Биссектриса угла ABC и серединный перпендикуляр к отрезку NL пересекаются в точке P. Известно, что и
Найдите длину отрезка MP.
и 
следуют равенства 
и равнобедренность треугольника LPN, нетрудно найти углы 
Применив теорему синусов, получим Вписанная в треугольник ABC окружность имеет центр I и касается сторон BC и AC в точках A1 и B1 соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку CI пересекает сторону BC в точке K. Через точку I проведена прямая, перпендикулярная KB1, она пересекает сторону AC в точке L. Докажите, что прямые AC и A1L перпендикулярны.
по построению точки K и N, а также точки A1 и B1 симметричны относительно прямой CI. Поэтому треугольники KIB1 и NIA1 симметричны относительно прямой CI и, в частности, равны. Тогда 
и 
Поскольку 
прямые AC и KI параллельны. Следовательно, 
Таким образом, 
По построению 
поэтому точки A1, I, K и P лежат на окружности ω, построенной на отрезке KI как на диаметре. Пусть эта окружность вторично пересекает вписанную окружность треугольника ABC в точке Q. Тогда прямые 
и KI перпендикулярны, поскольку точки Q и A1 симметричны относительно диаметра KI. Таким образом, осталось проверить, что точка A1 лежит на прямой LQ. Пусть прямая LQ вторично пересекает окружность ω в некоторой точке A2 и вторично пересекает вписанную окружность треугольника ABC в некоторой точке A3. Из свойства угла между касательной и секущей следует подобие треугольников LB1Q и LA3B1, откуда 
Следовательно, 
Поэтому точки A2 и A3 совпадают между собой и с точкой A1. Стало быть, точки A1, L и Q лежат на одной прямой.На сторонах BC, CA и AB остроугольного неравнобедренного треугольника ABC выбраны точки L, M и N соответственно. B треугольнике LMN проведена высота MP. Известно, что
и что биссектриса угла ABC проходит через середину отрезка MP. Найдите величину угла ABC.
следует, что прямая MP — серединный перпендикуляр к отрезку LN; у учётом условия 
и 
Тогда 
как вписанный, и поэтому 
Заметим, что 
как внешний угол треугольника AIB. Это означает, что треугольник BIP — равнобедренный и 
Пусть 
тогда 
Опишем около треугольника ADB окружность ω. Поскольку 
прямая PB является касательной к окружности ω поэтому 
Отсюда 
и 
В пирамиде SA1A2...An все боковые рёбра равны. Точка X1 середина дуги A1A2 описанной окружности треугольника SA1A2, точка X2 — середина дуги A2A3 описанной окружности треугольника SA2A3 и т. д., точка Xn — середина дуги AnA1 описанной окружности треугольника SAnA1. Докажите, что описанные окружности треугольников X1A2X2,
M и N точки на двух других биссектрисах (или на их продолжениях) такие, что 
и 
Найти величину 
в градусах.
(см. левый рис.);
MN серединный перпендикуляр к AL и BN — биссектриса угла B. Следовательно, точки A, B, L, N лежат на одной окружности (см. правый рис.).
Найдите косинус угла AKB, если K — точка пересечения диагоналей AC и BD, и 
пусть 
пусть 
и 
где 
и 
пусть 
тогда
или 
и 
имеем 
Точка M принадлежит катету AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, причем 
и 
Отрезок MH — высота треугольника AMB. Точка D расположена на прямой MH так, что угол ADB равен 90°, и точки C и D лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите длину отрезка BL, если L — точка пересечения BD и AC, а тангенс угла ACH равен 
откуда 
и 
Обозначим 
Тогда 
откуда 
то 
и 
то 
и 
и 
Рассмотрим треугольник ABD. 
и 
тогда 
или 
следовательно, 
тогда 
или 
значит, 
или 
Дан выпуклый четырехугольник ABCD, длина стороны AB равна 8, диагонали 
Пусть PQ — срединный перпендикуляр к стороне AB (с основанием в точке P), QD — биссектриса 
Найдите расстояние PQ.
There is a polygon ABCD with 
Let 
with P as a center of AB segment, and QD is a bisector of Find the length of PQ.
как центральный угол, соответствующий вписанному углу 
из рассмотрения треугольника ACD следует 
то вокруг четырехугольника ARCD можно описать окружность. Так как в этой окружности хорды AR и CR имеют равную длину, равную радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то равны и стягиваемые ими дуги, то есть 
DR — биссектриса угла ADC, а точка Q — это центр R окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
то есть 
Отсюда 
because it corresponds to 
which is inscribed in the circle; from triangle ACD we have 
as an opposite inscribed angles in a circle, thus we can inscribe ARCD in a circle. Chords AR and CR are equal to the radius of the circle which triangle ABC is inscribed in, thus 
DR is a bisector of 
so point Q coincides with R which is a center of the circle which triangle ABC is inscribed in.
В треугольнике АВС угол В равен 60° . На сторонах АВ и ВС отмечены точки М и N соответственно. Оказалось, что АМ = МN = NC. Докажите, что точка пересечения отрезков CM и AN совпадает с центром окружности, описанной около треугольника АВС.
Тогда в равнобедренных треугольниках AMN и MNC имеем: 
По свойству внешнего угла 
в треугольниках MNO и AOC получим: 
и 
Отсюда 
Поэтому 
и, значит, около четырехугольника MONB можно описать окружность (сумма противоположных углов 
и 
равна 
). Тогда 
Следовательно, ABO — равнобедренный треугольник: 
Аналогично, 