Всего: 91 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–91
Добавить в вариант
В остроугольном треугольнике ABC опущены высоты BD и CE. Внутри треугольника взята точка X. Пусть X1 — точка, симметричная X относительно прямой AB, X2 — точка, симметричная X1 относительно прямой BC, а X3 — точка, симметричная X2 относительно прямой CA. Точка M — середина отрезка XX3. Докажите, что точки D, E и M лежат на одной прямой.
Аналогично KL — средняя линия в треугольнике BX2X3, поэтому 
На стороне AB треугольника ABC выбрана такая точка P, что 3AP = AB. В треугольниках APC и BPC проведены биссектрисы PK и PL соответственно, а в треугольниках APK и BPL опущены высоты AQ и BR. В каком отношении прямая CP делит
Поскольку 
Найдите угол AED.
Заметим, что
и 
треугольники AME и DMC подобны. Поскольку треугольник DMC равнобедренный, таковым будет и AME. Тогда 
Поскольку точка E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC, 
На стороне BC треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке AD выбрана такая точка E, что 
Точка M — середина отрезка BD, а точка H — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на сторону BC. На серединном перпендикуляре к отрезку DE выбрали такую точку K, а на отрезке AH выбрали такую точку L, что DKLM — параллелограмм. Докажите, что прямые AC и LM перпендикулярны.
и четырехугольник ACB′E вписанный. Поэтому 
Пусть N — основание перпендикуляра, опущенного из точки K на BC. Тогда 
поэтому 
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что площадь треугольника ADE равна 0,5. Вписанная в четырехугольник BDEC окружность касается стороны AB в точке K, причем AK = 3. Найдите тангенс угла BAC, если около четырехугольника BDEC можно описать окружность, и BC = 15.
Действительно, по свойствам касательных к окружности имеем (см. рис.):
и 
Следовательно, треугольники ADE и ACB подобны, и 
Тогда 
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что площадь треугольника ADE равна 
Вписанная в четырехугольник BDEC окружность касается стороны AB в точке K, причем AK = 1. Найдите тангенс угла BAC, если около четырехугольника BDEC можно описать окружность, и BC = 5.
и 
проведены биссектрисы AA1, BB1, CC1. Отрезок A1B1 пересекает биссектрису CC1 в точке M. Найти градусную меру угла B1MC.
а значит точка A1 равноудалена от сторон B1B и BK. Учитывая, что точка A1 лежит на биссектрисе 
а значит и равноудалена от его сторон получаем, что A1 равноудалена от сторон B1B и B1C, а значит лежит на биссектрисе 
Аналогично доказываем, что B1C1 биссектриса 
Следовательно, 
как угол между биссектрисами смежных углов.
следовательно, 
Далее, 
как опирающиеся на одну дугу. 
и 
вычислим величину углов 
Эти углы являются внешними для треугольника AOC. И, значит, 
(радиус вписанной окружности) и 
(по условию). Отсюда следует, что 
и 
для всех этих четырех случаев. 
(равнобедренный треугольник);
(равнобедренный треугольник);
Основанием пирамиды TABCD является равнобедренная трапеция ABCD, средняя линия которой равна 
Отношение площадей частей трапеции ABCD, на которые ее делит средняя линия, равно 7 : 13. Все боковые грани пирамиды TABCD наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем пирамиды TAKND, где точки K и N — середины ребер TB и TC соответственно, AD — большее основание трапеции ABCD.
и 
По условию имеем 
и 
отсюда 
и 
Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то 
и 
Вычислим высоту трапеции 
Поскольку боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 
то высота пирамиды 
Найдите площадь треугольника AEF. Результат округлите до десятых (все промежуточные вычисления проводить точно).
вычислим величину углов 
и 
треугольники FOL и KOE равны, и 
и 
тогда
Основанием пирамиды TABCD является равнобедренная трапеция ABCD, длина большего основания AD которой равна 
Отношение площадей частей трапеции ABCD, на которые ее делит средняя линия, равно 5 : 7. Все боковые грани пирамиды TABCD наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите объем пирамиды SAKND, где точки K и N — середины ребер TB и TC соответственно, точка S принадлежит ребру TD, причем TS : SD = 1 : 2.
и 
и 
Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то 
то есть 
Вычислим высоту трапеции 
Поскольку боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°, то высота пирамиды 
В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC 
провели две медианы BB1 и CC1. Окружность описанная вокруг треугольника BB1C пересекает медиану CC1 в точках C и Q. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC, если CQ = m.
А так как C1C — серединный перпендикуляр к отрезку AB, то 
Опустим перпендикуляр QP на сторону AC. Так как треугольник AQB1 равнобедренный, то 
и 
Докажите, что 
в равнобедренном треугольнике ABN. Тогда по условию задачи 
и, значит, около четырехугольника AMND можно описать окружность. Значит, 
Таким образом, в четырехугольнике MBCN сумма углов при вершинах B и N тоже равна 
и поэтому около MBCN можно описать окружность. Следовательно, 
а значит, треугольник CMD тоже равнобедренный, и 
Точки M и N — проекции точки P на стороны AC и BC соответственно, D — середина AB. Докажите, что DM = DN.
Кроме того, по свойству секущих, 
что и требовалось доказать.Внутри выпуклого четырехугольника A1A2B2B1 нашлась такая точка C, что треугольники CA1A2 и CB1B2 правильные. Точки C1 и C2 симметричны точке C относительно прямых A2B2 и A1B1 соответственно. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
то есть B2 — центр описанной окружности треугольника B1CC1. Поэтомy 
Поэтому 
Точно так же доказывается равенство других углов треугольников 
и 
и 
а четырехугольники AMND и BMNC вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.
(см. рисунок). Тогда 
—
(накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BK). Поскольку четырехугольник AMND вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому 
Аналогично из того, что четырехугольник BMNC вписанный, следует равенство 
Следовательно, 
и 
поэтому треугольники AMB и CND равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда 
то есть трапеция ABCD равнобедренная. Отсюда следует, что прямая l, проходящая через середины ее оснований AD и BC, перпендикулярна этим основаниям. 
можно доказать и другими способами. Например, так: пользуясь тем, что четырехугольники AMND и BMNC вписанные, а углы 
и 
в сумме дают 180°, получаем 
Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX = BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть BL — биссектриса треугольника ABC (L на отрезке AC). Докажите, что прямые XL и BC параллельны.
или 
Из того, что прямые XL и BC параллельны, следует, что 
Тогда 
Дан треугольник ABC. На отрезках AB и BC выбраны точки X и Y соответственно так, что AX = BY. Оказалось, что точки A, X, Y и C лежат на одной окружности. Пусть L — такая точка на отрезке AC, что прямые XL и BC параллельны. Докажите, что BL — биссектриса треугольника ABC.
Пусть L — точка пересечения диагоналей CE и DF правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 3. Точка K такова, что 
Определите, лежит ли точка K внутри, на границе или вне ABCDEF, а также найдите длину отрезка KC.
точка K также является центром правильного треугольника, положение которого смотри на рисунке. Значит, точка K лежит вне шестиугольника и KC равняется радиусу описанной окружности правильного треугольника со стороной 3, откуда и следует ответ.
точка лежит вне шестиугольника.Пусть L — точка пересечения диагоналей CE и DF правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 4. Точка K такова, что 
Определите, лежит ли точка K внутри, на границе или вне ABCDEF, а также найдите длину отрезка KA.
точка K также является цент ром правильного треугольника, положение которого смотри на рисунке. Значит, точка K лежит вне шестиугольника и KA равняется радиусу описанной окружности правильного треугольника со стороной 4, откуда и следует ответ.