РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5807 Добавить в вариант

Дан треугольник ABC. Из точки P внутри него опущены перпендикуляры PA', PB', PC' на стороны BC, CA, AB соответственно. Затем из точки P опущены перпендикуляры PA'', PB'' на стороны B'C' и C'A'

соответственно. Докажите, что PA · PA' · PA''  =  PB · PB' · PB''.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку углы PB'A и PC'A  — прямые, то четырёхугольник PB'AC' вписан в окружность с диаметром PA, откуда $\angle P B' C'=\angle P A C'.$ Поэтому прямоугольные треугольники PB'A'' и PAC' подобны и $PB': PA=PA'': PC'.$ Это равносильно

$P B' умножить на P C'=P A умножить на P A''.$

Домножив обе части на PA', получим равенство

$P A умножить на P A' умножить на P A в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =P A' умножить на P B' умножить на P C'.$

Аналогично доказывается, что

$P B умножить на P B' умножить на P B в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =P A' умножить на P B' умножить на P C' .$

Из этих двух равенств и следует равенство

$P A умножить на P A' умножить на P A в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =P B умножить на P B' умножить на P B в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка .$

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Подобие

Спрятать решение · Помощь