РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5775 Добавить в вариант

В треугольнике ABC проведены две высоты AA' и CC '. Найдите величину угла B, если известно, что $AC=2 умножить на A' C '.$

Спрятать решение

Решение.

Построим на стороне AC как на диаметре окружность, которая пройдет через точки A' и C', так как $\angle A A' C=\angle A C' C=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ Из условия $A C=2 умножить на A' C'$ следует, что отрезок A'C' равен радиусу построенной окружности. Значит, дуга, стягиваемая хордой A'C', составляет 60°. Отсюда угол C'CA', опирающийся на эту дугу, равен 30°.

Далее, если угол B  — острый, то $\angle B=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C' C B=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (см. левый рис.); если же угол B  — тупой, то $\angle C B C'=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B C C'=60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ (см. правый рис.), и, значит, $\angle B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C B C'=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: 60° или 120°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Только ответ — 0 баллов.

Разобран только один из двух случаев — 15 баллов.

Полное решение — 25 баллов.

Олимпиада Казанского федерального университета, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник: сумма углов, Методы геометрии. Вспомогательная окружность, Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь