Всего: 297 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 …
Добавить в вариант
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
не имеет решений на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны
а) Вместо того, чтобы решать иррациональное неравенство путем двукратного возведения в квадрат, можно поступить следующим образом. Пусть 
Поскольку на луче 
функции 
и 
— убывающие, то и функция f убывает на нем. Аналогично, f возрастает на луче 
Далее, 
а 
Таким образом, 
только при 
Ответ: 
б) Имеем:
тогда и только тогда, когда 
или 
т. е. когда число а является значением на отрезке 
(при некотором 
) одной из функций 
или 
Графики этих функций изображены на рисунке, откуда и следует ответ.
Ответ: 
в) Подчеркнем прежде всего, что основную часть решения данной задачи составляет геометрическое рассуждение. Именно, требуется доказать, что искомым расстоянием между диагональю BD грани ABCD и диагональю AC1 параллелепипеда является длина перпендикуляра, опущенного на AC1 из точки K — центра ABCD (см. рисунок). Для этого достаточно доказать, что прямая KP, которая по построению перпендикулярна AC1 также перпендикулярна и BD. Действительно, так как диагонали AC и BD и прямые CC1 и BD перпендикулярны между собой, то прямая BD перпендикулярна плоскости (ACC1), значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, и прямой KP. Само вычисление чрезвычайно просто:
Заметим, наконец, что если длины ребер параллелепипеда различны, то общий перпендикуляр к BD и AC1 уже не будет пересекать BD в его середине. В этом случае проще всего использовать методы аналитической геометрии, чтобы получить следующую общую формулу
Ответ: 
г) 
— площадь трапеции. Пусть d — диагональ четырехугольника. Тогда 
так что
Прямое дифференцирование показывает, что эта функция достигает своего наибольшего значение при 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет решения на отрезке 
в) Найдите наименьшее расстояние между диагональю прямоугольного параллелепипеда с ребрами 4, 2, 4 см и не пересекающей ее диагональю его квадратной грани.
г) Найдите наибольшую площадь четырехугольника, длины последовательных сторон которого равны 2, 3, 4, 3 см.
а) Для начала найдем ОДЗ неравенства
Значит ОДЗ неравенства это 
При 
получаем
поэтому неравенство верно. При 
функция
возрастает и при этом 
Значит, подходят все и не подходят 
Ответ: 
б) Ясно, что нужно просто найти наименьший положительный корень этого уравнения и взять a не меньшие этого корня. Решая уравнение, получим 
где 
решим
Отсюда сразу видно, что первые корни определены только при 
а вторые — только при 
Кроме того, оба корня с минусом перед радикалом сразу отрицательны и их можно не учитывать, поскольку 
получим 
или 
Далее, ясно, что при меньших k получатся меньшие значения этих выражений, поэтому достаточно взять наименьшие k и сравнить результаты между собой. Сравним
или 
или 
Поскольку
наименьший корень равен 
Ответ: 
в) Пусть этот параллелепипед это ABCDA1B1C1D1, причем AB = AD = 4, AA1 = 2. Будем искать расстояние между AC1 и BD.
Заметим сразу, что прямые AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах (проекция AC1 на ABCD это AC, а диагонали квадрата перпендикулярны). Пусть O — середина BD. Опустим перпендикуляр из O на AC1. Это и будет искомое расстояние между прямыми. В самом деле, этот отрезок будет перпендикулярен AC1 по построению, а его проекция будет лежать на диагонали AC (поскольку он лежит в плоскости ACC1A1), поэтому проекция (а значит и он сам) будет перпендикулярна BD.
Итак, можно вычислять ответ
Ответ: 
г) Рассмотрим четырехугольник ABCD, 
Пусть, далее, 
По неравенству треугольника получим 
и 
и 
откуда 
Ясно, что любое такое x подходит — оба треугольника ABC и ADC удается построить и склеить по стороне AC. Применим тогда к каждому из них формулу Герона, получим
Обозначим теперь 
(поскольку функция 
монотонна при 
). Тогда нам нужно будет найти наибольшее значение функции 
при 
Возьмем ее производную
Поэтому знак производной совпадает со знаком выражения 
которое очевидно убывает. Значит, нужно найти его корень 
и тогда на промежутке 
производная будет положительна (а функция возрастать), а на промежутке 
производная будет отрицательна (а функция убывать), поэтому наибольшее значение функции будет при 
Решим уравнение
Значит нужно выбрать 
и x — корень уравнения 
и получить площадь
На самом деле четырехугольник наибольшей площади с данными сторонами — вписанный. В нашем случае на его, роль, очевидно, подойдет равнобедренная трапеция.
Ответ: 
— площадь трапеции.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— площадь трапеции.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Внутри угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 от нее расположена точка M. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны этого угла.
г) Сколько сторон имеет сечение куба 
плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) После стандартных преобразований получим неравенство
Ответ: 
б) При 
получаем уравнение 
т. е. 
При 
имеем 
т. е. 
Вообще, 
есть решение только при 
Поэтому в дальнейшем будем считать, что 
После 
откуда 
Случай уже исследован, так что 
Из условий 
получаем, что 
Таким образом, 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при
в) Имеем: 
так что 
Ответ: 
г) Если расположить начало системы координат в вершине C куба, а ее оси направить по его ребрам, то из условий на точки K, L, M следует, что их координаты равны 
Для определения коэффициентов уравнения 
плоскости 
получаем систему
откуда 
и 
Найдем координаты точки P пересечения прямой 
и плоскости KLM: 
так 
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) На сторонах угла величиной 
с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки 
и 
которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях 
и 
(считая от вершины, указанной первой)?
а) Решите неравенство
Ясно что 
и 
не подходят в неравенство. При прочих x можно домножить неравенство на 
и получить
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
У второго множителя левой части есть корень 
поэтому он раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его
Дискриминант последнего множителя равен 
поэтому он всегда положителен. Сократив его, получим 
откуда 
или 
Окончательно, учитывая условия 
и 
получаем 
Ответ: 
б) Решите уравнение
Обозначим 
Тогда 
и уравнение примет вид
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, получим
При подходит любое 
При прочих a можно сократить на 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
поэтому такой корень подходит.
Если 
то 
и при этом условии можем возвести в квадрат, отсюда
Можно сократить на 
тогда 
При 
это невозможно (правая часть неположительная, а левая положительна). При 
получим
заметим корень с другим знаком все равно не подходит. Очевидно 
при условии 
то есть 
Итак, такой корень подходит при 
при прочих отрицательных a нет корней.
Наконец при уравнение сводится к 
то есть
Теперь можно записать ответ, дорешав уравнения 
в случаях 
Во всех случаях 
при нет корней; при 
и 
при 
при 
нет корней; при 
при 
и 
при 
Ответ: 
при 
при 
при 
при 
в) На сторонах угла величиной с вершиной в точке A на расстоянии 4 друг от друга лежат точки K и L. Пусть M — точка пересечения восстановленных в точках K и L перпендикуляров к соответствующим сторонам угла. Найдите расстояние от M до A.
Обозначим 
тогда
Тогда по теореме синусов для треугольника KAL получаем 
откуда 
Аналогично по теореме синусов для треугольника MKL получаем 
Тогда по теореме Пифагора получаем
Ответ: 
г) Сколько сторон имеет сечение куба плоскостью, проходящей через точки и которые делят эти отрезки в, соответственно, отношениях и (считая от вершины, указанной первой)?
Обозначим ребро куба за 
тогда 
и 
Отметим кроме того точку 
для которой 
Тогда 
и 
- параллелограмм (его стороны 
и AK равны и параллельны), поэтому 
и 
Далее, 
и 
поэтому 
—
и 
Из этого получаем, что 
и 
поэтому точки K, L, M, D лежат в одной плоскости (и образуют там вершины параллелограмма). Этот параллелограмм и будет сечением куба, поэтому сечение имеет 4 стороны.
(не сошлось с ответом!)
Ответ: Пять сторон.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
при при при при Пять сторон.При каком a уравнение имеет ровно два решения или больше трех решений?
Рассмотрим функцию 
Производная 
обращается в ноль при 
Максимум — в точке 
Далее, рассмотрим уравнение 
откуда
Вычислим значения y:
Обозначим 
Тогда
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на x — и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
—
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть 
—
— радиус той окружности, которая касается сторон AB и AD ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса 
касается стороны BC в точке L. Треугольник CLQ — прямоугольный, 
равен угловому коэффициенту прямой BC, то есть 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника CLQ получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой —
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
a) И ромб, и окружность симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, то есть 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть — —
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса касается стороны BC в точке L. Треугольник JAQ — прямоугольный,
поэтому
так как он равен угловому коэффициенту прямой AB. Тогда
По теореме Пифагора для треугольника JQA получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 6алл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Если указано, что нечётное число решений может быть только когда окружность проходит через вершину ромба, принадлежащую его меньшей диагонали, и при этом получен неверный ответ (лишние решения), то 1 балл вместо 2.
Решён пункт б) — 3 балла.
Отсутствует проверка того, что если окружность проходит через ближайшую вершину ромба, то она не имеет общих точек с двумя дальними сторонами ромба и пр. — баллы не снимать.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что полностью решён хотя бы один из пунктов а)
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (0; 2) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вверх, а другой — с вершиной 
и ветвями вниз, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси ординат, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси ординат. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в верхней полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр 
на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть 
—
и 
Так как 
то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на −x и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
— луч с началом в точке (1; 0) и угловым коэффициентом 
Используя симметрию множества относительно координатных осей, получаем 2 угла: один с вершиной в точке 
с ветвями вправо, а другой — с вершиной 
и ветвями влево, угловые коэффициенты сторон угла равны 
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И окружность, и множество точек, задаваемых первым уравнением, симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при этих a окружность имеет ещё две общие точки со сторонами угла, лежащего в правой полуплоскости, и всего у системы получается 3 решения. Тогда 
или 
б) Пусть —
Опустим из точки Q перпендикуляр QH на сторону угла, лежащую в первой четверти. Пусть —
Так как то
и по теореме Пифагора для треугольника AQH получаем
Значит, 
Ответ: а) 
б) 
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы 1 балл.
Показано, что второе уравнение системы задаёт окружность переменного радиуса (или точку) 1 балл.
Решён пункт а) — 2 балла.
Решён пункт б) — 2 балла.
Если радиус окружности равен a вместо |a|, то снять 1 балл при условии, что из пунктов а) или 6).
б) Найдите вcе значения параметра b такие, что система
имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра a.
Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра а расстояние от начала координат до прямой
равно 2, а точка (0; 0) удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку (0; 0), границей которой является прямая, касающаяся окружности 
У равнение данной системы можно преобразовать к виду
Оно задаёт окружность 
с центром 
радиуса 
(или точку при 
Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра a, требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть 
—
которая касается окружности 
внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка 
Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, 
Ответ: 
Верное изображение второго множества (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл.
Верное описание первого множества (полуплоскости с опорными прямыми, касающимися данной окружности) — 3 балла.
Найдены значения параметра — 4 балла. (Если при этом считается, что радиус окрестности равен f(b), a не |f(b)|, пo 3 балла вместо 4. Если в ответе открытые лучи вместо замкнутых, то снять 1 балл.)
Во многих работах не понята логика задачи. Участники находят множество точек, удовлетворяющих первому неравенству при любых значениях параметра a, — круг, а затем ищут, при каких значениях параметра b окружность, заданная вторым уравнением, пересекает этот круг. Если при этом круг получен введением вспомогательного угла и геометрический смысл неравенства системы (полуплоскость) не найден, то за такое решение задачи ставится не более 2 баллов.
Найдите вcе значения параметра b такие, что система
имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра a.
Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра a расстояние от начала координат до прямой
равно 3, а точка (0; 0) не удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, не содержащую точку (0; 0), границей которой является прямая, касающаяся окружности 
Уравнение данной системы можно преобразовать к виду
Оно задаёт окружность с центром (−5; −1) радиуса 
(или точку (−5; −1) при 
Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра a, требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть — которая касается окружности 
внутренним образом (т. е. окружность 
находится внутри окружности 
Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка 
Для окружностей, касающихся внутренним образом, разность радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что 
поэтому
Ответ: 
Верное изображение второго множества (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл.
Верное описание первого множества (полуплоскости с опорными прямыми, касающимися данной окружности) — 3 балла.
Найдены значения параметра — 4 балла. (Если при этом считается, что радиус окрестности равен f(b), a не |f(b)|, пo 3 балла вместо 4. Если в ответе открытые лучи вместо замкнутых, то снять 1 балл.)
Во многих работах не понята логика задачи. Участники находят множество точек, удовлетворяющих первому неравенству при любых значениях параметра a, — круг, а затем ищут, при каких значениях параметра b окружность, заданная вторым уравнением, пересекает этот круг. Если при этом круг получен введением вспомогательного угла и геометрический смысл неравенства системы (полуплоскость) не найден, то за такое решение задачи ставится не более 2 баллов.
Найдите все значения параметра a, при которых существует значение параметра b такое, что система
имеет ровно два решения.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством 
и 
Итак, первое уравнение задаёт отрезок AB на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но нас эти варианты не интересуют, так как тогда у системы меньше двух решений).
Система может иметь два решения при каком-либо b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Абсцисса точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений
это 
Чтобы эта точка оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 балл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному м ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a такое, что система
имеет не более одного решения при любом значении параметра b.
Первое уравнение на ОДЗ равносильно уравнению
Так ОДЗ определяется неравенством
Итак, первое уравнение задаёт отрезок 
на плоскости, расположение которого зависит от параметра a.
Второе уравнение может быть переписано в виде
это уравнение окружности с центром 
радиуса 
(также может быть точка или пустое множество, но тогда при любом a не более одного решения).
Система имеет не более одного решения при любом b тогда и только тогда, когда перпендикуляр, опущенный из M на прямую, содержащую отрезок AB, не попадает во внутреннюю точку отрезка (если окружность пересекает прямую, то точки пересечения находятся по разные стороны от проекции центра окружности на прямую).
Составим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной AB. Поскольку произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно −1, то её угловой коэффициент равен 
и её уравнение имеет вид
Ордината точки пересечения этой прямой и прямой AB может быть найдена из системы уравнений 
—
Чтобы эта точка не оказалась внутренней точкой отрезка, необходимо и достаточно, чтобы 
откуда 
Ответ: 
При геометрическом способе решения:
а) изображено второе множество (окружность с переменным радиусом или точка) — 1 6алл;
б) верно описано первое множество (семейство параллельных отрезков) — 2 балла;
в) верная геометрическая формулировка условия наличия ровно двух решений — 2 балла.
При алгебраическом способе решения:
а) первое уравнение приведено к линейному с ограничением относительно одной из переменных — 2 балла;
б) сделана подстановка и сформулировано верное условие для параболы — 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром 
радиуса 
Второе уравнение исходной системы при 
задаёт окружность 
с центром 
радиуса 
(при 
пустое множество, при одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
Две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 3 решения.
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение.
Итак, подходят и Тогда 
и 
Ответ: при и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром радиуса 
Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Tогда 
и 
Ответ: при 
и 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого1:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла.
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл.
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 4 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром 
радиуса (при пустое множество, при одну точку - в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R.
Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений и Первое из них задаёт квадрат G с центром диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром (0; 0) радиуса Второе уравнение исходной системы при задаёт окружность с центром (−5; 4) радиуса (при пустое множество, при одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при две общие точки при
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при или две общие точки при и ни одной общей точки при остальных R. Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда и
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно одно решение.
При условии 
данное уравнение равносильно уравнению 
График правой части уравнения — прямая 
График левой части уравнения — это «уголок» с вершиной в точке (1; 0), наклон ветвей которого определяется параметром a.
Левая ветвь «уголка» пересекает прямую при 
правая ветвь пересекает прямую при 
и 
(при 
правая ветвь проходит через выколотую точку прямой — точку 
Следовательно, ровно одно решение получается при
Ответ: 
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика 
параллельна прямой — снять 1 балл.
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика проходит через выколотую точку — снять 1 балл.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно одно решение.
При условии 
данное уравнение равносильно уравнению 
График правой части уравнения — прямая 
График левой части уравнения — это «уголок» с вершиной в точке (−1; 0), наклон ветвей которого определяется параметром a.
Левая ветвь «уголка» пересекает прямую при правая ветвь пересекает прямую при и 
Ответ: 
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика параллельна прямой — снять 1 балл.
Не учтён случай, когда одна из ветвей графика проходит через выколотую точку — снять 1 балл.
Дана система уравнений
а) Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих первому уравнению системы, и найдите площадь полученной фигуры.
б) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система имеет ровно одно решение.
а) Заметим, что равенство 
выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (3; 0), а вся система — часть этого круга, лежащую в полуплоскости 
Площадь этого сегмента равна разности площади круга и площади сегмента этого круга, находящегося в полуплоскости 
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 2 arcsin 0,8, получаем, что его площадь S равна
б) Рассмотрим второе уравнение исходной системы. Перепишем его в виде
Если подставить в него 
то получим, что 
Таким образом, это уравнение задаёт прямую, проходящую через
Значит, система имеет ровно одно решение тогда, когда прямая проходит через одну из «вершин» сегмента — точку 
или точку 
Подставляя координаты точек в уравнение прямой, получаем:
Ответ: а) 
б) 
Построено множество — 3 балла.
Найдена его площадь — 1 балл.
б) Наверх