Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений 
и 
Первое из них задаёт квадрат G с центром 
диагонали которого равны 6 и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность S с центром (0; 0) радиуса 
Второе уравнение исходной системы при 
задаёт окружность 
с центром (−5; 4) радиуса 
(при 
пустое множество, при 
одну точку — в этих случаях трёх решений быть не может).
Окружность имеет с окружностью S одну общую точку при 
две общие точки при
и ни одной общей точки при остальных R.
Окружность имеет с квадратом G одну общую точку при 
или 
две общие точки при 
и ни одной общей точки при остальных R. Для того чтобы у системы было три решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность имела две общие точки с квадратом G и одну общую точку с окружностью S или наоборот. Рассмотрим значения R, при которых окружность имеет с квадратом G или окружностью S ровно одну общую точку.
1) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и две общие точки с квадратом G 
2) При 
Тогда есть одна общая точка с окружностью S и нет общих точек с квадратом G 
3) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и две общие точки с окружностью S 
4) При 
Тогда есть одна общая точка с квадратом G и нет общих точек с окружностью S (т. к. 
т. е. у системы 1 решение. Итак, подходят и Тогда 
и 
Ответ: 
Построено множество точек, удовлетворяющих первому уравнению — 2 балла.
Сверх этого:
а) за каждое найденное значение параметра — 3 балла;
б) получено 1 лишнее значение параметра — снять 1 балл;
в) получено 2 лишних значения параметра — снять 3 балла.
Наверх