Всего: 50 1–20 | 21–40 | 41–50
Добавить в вариант
Найдите все значения параметра b, при котором для любого значения параметра 
неравенство
выполняется при каждом 
Сделаем замену
Получаем
Рассмотрим функцию
Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вверх, вершиной в точке с абсциссой 
Выясним, при каких значениях a и b неравенство 
выполняется для любого Представим систему и и график к ней (верхний рис.):
На координатной плоскости Oab изобразим множество точек 
удовлетворяющих этим условиям. Получаем пересечение двух кругов радиуса 5 без границы. Для решения задачи необходимо найти такие значения b, при которых точки 
попадают в получившуюся область для любых 
Такие значения b образуют интервал 
Нижнюю границу b1 находим, подставляя 
в уравнение окружности
Имеем 
Верхнюю границу 
находим, подставляя в уравнение окружности
значение 
Имеем 
Ответ: 
Найдите все значения параметра a, для которых уравнение 
имеет единственное решение.
Заметим, что только 
может быть единственным корнем уравнения, так как в силу четности входящих функций, для любого решения 
решением будет и (–x0). Значит, по необходимости получаем 
откуда 
или 
Проверим эти значения. При 
имеем уравнение 
у которого бесконечное множество решений 
Если же 
то уравнение 
имеет единственное решение 
Ответ:
Найдите все значения параметра a, для которых имеет единственное решение уравнение:
a) 
б) 
а) Заметим, что только может быть единственным корнем уравнения, так как в силу четности входящих функций, для любого решения решением будет и (–x0). Значит, по необходимости получаем откуда или Проверим эти значения. При имеем уравнение у которого бесконечное множество решений Если же то уравнение имеет единственное решение
б) Так же, как в решении задачи 4004, вопрос сводится к проверке значений a, для которых 
При и 
результат уже получен в задаче 4004. При имеем уравнение
Но, как известно (например, из доказательства первого замечательного предела), 
при 
Таким образом, и при уравнение имеет единственное решение. Замечание. Указанное неравенство можно доказать и с помощью производной, рассматривая функцию 
при неотрицательных x, эта функция имеет неотрицательную производную и обращается в нуль при
Ответ: a) 
б) 
б) Найдите все значения угла 
из промежутка [0°; 360°] такие, что система
имеет единственное решение.
(Р. Алише)
Заметим, что
Перепишем нашу систему
Заштрихованная область удовлетворяет первому неравенству. Следовательно, если рассмотреть произвольную точку 
и провести окружность с центром в этой точке радиуса 
то она должна иметь ровно одну общую точку с заштрихованной областью 
—
до точки 
Как видно из графика такое возможно тогда и только тогда, когда окружность касается одной из прямых 
то касание будет происходить только для
Ответ: 
Решите уравнение 
при всех значениях параметра 
Заметим, что ОДЗ уравнения определяется условием 
то есть 
Введем 
и 
После подстановки получим:
Следовательно,
При 
решение x принадлежит ОДЗ уравнения, а при 
решений нет.
Ответ:
— при 
решение 
— при 
решений нет.
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью | + | 12 |
| Ответ и решение верные, но форма ответа слишком громоздка | ± | 11 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Найдены значения x, но не выписано в явном виде условие хотя уравнение на ОДЗ имеется | +/2 | 10 |
| При правильном решении и верном выражении для x ошибочно указано ОДЗ | ∓ | 6 |
Получено уравнение  но нерешено или решено неверно | − | 2−3 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. Задача не решалась | 0 | 0 |
— при решение
— при решений нет.
Решите уравнение 
при всех значениях параметра
Замети, что ОДЗ уравнения определяется условием то есть Введем 
и После подстановки получим:
Следовательно,
При решение x принадлежит ОДЗ уравнения, а при решений нет.
Ответ:
— при 
решение 
— при решений нет.
| Содержание критерия | Оценка | Баллы |
|---|---|---|
| Задача решена полностью | + | 12 |
| Ответ и решение верные, но форма ответа слишком громоздка | ± | 11 |
| Решение содержит значительное продвижение в верном направлении. Найдены значения x, но не выписано в явном виде условие хотя уравнение на ОДЗ имеется | +/2 | 10 |
| При правильном решении и верном выражении для x ошибочно указано ОДЗ | ∓ | 6 |
Получено уравнение  но нерешено или решено неверно | − | 2−3 |
| Задача не решена, содержательных продвижений нет. Задача не решалась | 0 | 0 |
— при решение
— при решений нет.
При каких значениях a уравнение 
имеет ровно 8 решений?
Функция 
равна единице, если 
Таким образом, 
и график функции 
должен пересекать лишь четыре из бесконечного набора прямых 
то есть 
Построив графики (см. рис.), заключаем, что 
Ответ: при
Укажите, при каких значениях параметра a уравнение имеет решение:
Для упрощения исследования введем
при 
уравнение примет вид:
откуда следует:
то есть
Данное уравнение может иметь решение при
но не все значения параметра a, удовлетворяющие этому ограничению, подходят, поскольку
и, следовательно,
Заметим, что 
следовательно,
Выделяя 
на тригонометрическом круге (см. рисунок), видим, что при
имеем 
Следовательно, исходное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, если
Ответ: 
Для каждого значения параметра p решите уравнение
и укажите количество его решений для каждого значения параметра.
Заметим, что 
и что если x — корень, то 
Умножим обе части уравнения 
Получаем:
Введем обозначение
Поскольку
исходное уравнение равносильно следующему:
или
Отсюда находим, что
и для любого действительного значения p, очевидно, 
то есть, корни этого уравнения всегда различны и не равны нулю. Легко проверить что условие 
равносильно выполнению неравенства 
значит, при всех
существуют две серии решений
которые при 
соединяются в одну 
Аналогично, для второго корня должно выполняться условие 
или 
следовательно, при всех
существует две серии решений
которые при 
соединяются в серию 
Таким образом, для каждого промежутка 
имеется два решения исходного уравнения при 
три решения при 
четыре решения при 
и при 
решений нет.
Ответ: для каждого промежутка имеется два решения исходного уравнения при три решения при четыре решения при и при решений нет.
имеется два решения исходного уравнения при три решения при четыре решения при и при решений нет.Определите, при каких значениях n и k уравнение 
является следствием уравнения 
Пара 
является решением второго уравнения, следовательно, 
Пара 
также есть решение второго уравнения, следовательно, 
С необходимостью должны выполняться условия: 
и 
то есть 
Проверим достаточность полученных значений. Подставим пару 
в первое уравнение, получим:
что равно 0 только для чётных l, то есть 
Ответ: 
При каких значениях a существует b такое, что уравнение 
не имеет решений?
Пользуясь методом вспомогательного аргумент а, приходим к уравнению
Ответом к задаче будут a, удовлетворяющие соотношению
Ответ: 
Замечание.
Подразумевается, что уравнение может не иметь решений вообще ни при каких b.
При всех значениях 
решите неравенство
При 
решений нет, так как функция справ а отрицательна, а слева неотрицательна. При 
имеем
поэтому исходное неравенство равносильно 
Откуда 
и при 
есть одно решение 
Ответ: при 
решений нет, при есть одно решение
решений нет, при есть одно решение При каких значениях
Сделаем замену переменных: 
и 
Уравнение можно преобразовать к виду:
Теперь введем переменную t: 
Тогда правая часть уравнения может выть преобразована к виду:
Функция g(t) при отрицательных значениях аргумента отрицательна, а при положительных ее можно представить в виде:
из которого ясно, что функция принимает максимальное значение, когда знаменатель положителен и минимален. Это произойдет при 
то есть при 
При этом максимальное значение правой части уравнения будет равно 3. Левая часть уравнения
всегда больше или равна 3 и достигает минимального значения при 
Отсюда можно найти значения переменной x:
которые претендуют на то, чтобы быть корнями исходного уравнения. Значения переменной x у левой и правой части должны совпадать, поэтому решения будут при таких значениях n, при которых выполнится хотя бы одно из условий:
В обоих случаях получаются линейные диофантовы уравнения, которые решаются представлением k через классы делимости на 7 с остатком 
Первое из этих уравнений относительно переменной n сводится к уравнению 
которое на заданном промежутке натуральных чисел имеет единственное решение 
Второе уравнение сводится к уравнению: 
которое имеет единственное решение 
Ответ: {6, 9}.
Целое число n таково, что
а уравнение 
имеет решение. Найти все такие n.
Из первого условия
Если 
то
Тогда 
и уравнение решений не имеет. Если
Таким образом, допустимы для второго уравнения 
Каждый из синусов левой части уравнения по модулю равен 1.
Первый случай. Если 
то есть 
при то
для всех k. Тогда
Таким образом, 
входит в ответ.
Второй случай. Если 
то есть 
при то
Произведение синусов в левой части уравнения равно 1, если 
Значит
Таким образом, в случае 2 решений нет.
Ответ: 
При каких a уравнение 
имеет два решения x1 и x2, для которых 
Перепишем уравнение в виде
Первый случай: 
и 
Имеем однородное тригонометрическое уравнение, которое, как известно, приводится к виду
Его решения задаются формулой
из чего следует, что среди решений нет таких, для которых разность не равна 
Второй случай: и 
Имеем уравнение
Его решения задаются формулой 
из чего следует, что среди решений нет таких, для которых разность не равна
Третий случай: 
и Имеем уравнение
Его решения задаются формулой 
из чего следует, что среди решений нет таких, для которых разность не равна 
Четвертый случай: и Имеем уравнение 
В этом случае любой x является решением этого уравнения. Это означает, что среди решений есть решения, для которых разность не равна
Найдем a, для которых
Первое уравнение системы имеет решения 
Второе уравнение системы перепишем в виде
Запишем его решения
В результате получаем совокупность двух систем
Система (*) приводит к линейному уравнению в целых числах 
Решая его, получаем
Подставляя n в выражение для a, находим 
Система (**) приводит к линейному уравнению в целых числах 
Решая его, получаем
Подставим m в выражение для a:
Мы получили те же решения, что и для системы (*). Следовательно, других решений не прибавилось и 
Ответ:
При каких a уравнение 
имеет решения на отрезке 
Искомые a принадлежат области значений функции
на отрезке 
Замена 
приводит к задаче нахождения области значений функции
на отрезке 
Исследование функции: Производная
неотрицательная на отрезке 
поэтому
Ответ: 
При каких a уравнение 
имеет решения?
Сделаем замену
Относительно t уравнение примет вид:
На рисунке изображена парабола 
на отрезке 
и прямая 
Искомые значения параметра соответствуют прямым, имеющим с параболой общие точки.
Параметр a1(a3) соответствует касанию прямой с параболой в точке A(C):
Для значений параметра a, для которых 
прямые 
пересекают параболу на отрезке и уравнение имеет бесконечное число решений.
Ответ: 
При каком значении a уравнение
имеет решение? Найти эти решения. Найти минимальное R, при котором любой круг радиуса R на плоскости содержит хотя бы одну точку с координатами (x; y) — решениями уравнения.
Имеем
для всех 
Если знак неравенства строгий, то решений уравнение не имеет. Решение может быть только при В этом случае уравнение равносильно системе
Семейство (*), состоит из параллельных прямых, равноотстоящих друг от друга на расстояние 
Прямые из семейства (**) параллельны между собой, перпендикулярны прямым из семейства (**) и равноотстоят друг от друга на расстояние
Прямые из (*) и (**) разбивают плоскость на квадраты со стороной 
в вершинах которых находятся решения (***). Радиус круга, описанного около квадрата, равен 
Если 
то найдется круг радиуса 
не содержащий решений (***). Чертеж представлен на верхнем рисунке.
Предположим, что существует круг радиуса R*, не содержащий ни одной вершины из квадратов разбиения. Точка O — центр этого круга — принадлежит одному из квадратов разбиения (см. нижний рис.).
Если точка O не совпадает с точкой Q — центром квадрата, то она принадлежит одному из треугольников, на которые разбивают квадрат его диагонали, например, треугольнику QCD. Тогда хотя бы один из треугольников QOC и QOD тупоугольный и либо 
либо 
Но тогда хотя бы одна из вершин C или D принадлежит кругу. Полученное противоречие показывает, что
Ответ:
1) уравнение имеет решения при
2) 
3) 
1) уравнение имеет решения при
2)
3)
Найдите все значения m, при которых уравнение
имеет два решения, таких, что 
Запишем ОДЗ: 
Найдем корни исходного уравнения:
Если 
то и 
Пусть 
тогда
Ответ: 
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
при любом значении b имеет хотя бы одно решение.
При b = −1 уравнение приводится в виду
равносильно 
Таким образом, при b = −1 решение существует только при 
С другой стороны, при 
уравнение 
при любом значении b.
Ответ: 
В задаче требуется получить необходимое условие и затем доказать его достаточность. Только в этом случае решение является правильным.
Наверх