РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6052 Добавить в вариант

Определите, при каких значениях n и k уравнение $синус x плюс sin y= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2017 конец дроби$ является следствием уравнения $x плюс y= дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Пара $левая круглая скобка 0, дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби правая круглая скобка$ является решением второго уравнения, следовательно, $синус дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2017 конец дроби .$ Пара $левая круглая скобка Пи ; дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби минус Пи правая круглая скобка$ также есть решение второго уравнения, следовательно, $минус синус дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2017 конец дроби .$ С необходимостью должны выполняться условия: $k=0$ и $синус дробь: числитель: Пи n, знаменатель: 48 конец дроби =0,$ то есть $n=48 l,$ $l принадлежит Z .$

Проверим достаточность полученных значений. Подставим пару $левая круглая скобка x; Пи l минус x правая круглая скобка$ в первое уравнение, получим:

$синус x плюс синус левая круглая скобка Пи l минус x правая круглая скобка = синус x плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка l минус 1 правая круглая скобка синус x,$

что равно 0 только для чётных l, то есть $l=2 m.$

Ответ: $k=0,$ $n=96 m,$ $m принадлежит Z .$

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметры и тригонометрия, Задачи с параметрами. Уравнения

Спрятать решение · Помощь