Всего: 50 1–20 | 21–40 | 41–50
Добавить в вариант
При каких a уравнение
имеет единственное решение?
Функция 
имеет период 2π и ее график на периоде [-π; π] (см. рис. 1). График второй функции (полуокружность) (см. рис. 2)
На рисунке 3 приведено взаимное расположение обоих графиков при 
При увеличении параметра a график второй функции перемещается вправо вдоль оси абсцисс. Ввиду периодичности первой функции достаточно проследить изменение взаимного расположения графиков на участке длиной в период, т. е. при 
Найдем критические значения параметра при которых происходит качественное изменение взаимной конфигурации графиков. Первое критическое значение параметра отвечает положению, когда при сдвиге второго графика вправо, он соприкоснется с графиком первой функции (см. рис. 4).
Так как правый конец второго графика имеет абсциссу, равную 
то это положение определяется равенством
На участке 
рассматриваемое уравнение решений не имеет, а при 
оно имеет единственное решение.
Следующее критическое значение параметра отвечает случаю, когда левый конец второго графика совпадет с точкой 
(см. рис. 5).
Это положение определяется равенством
На участке 
уравнение имеет одно решение. При дальнейшем увеличении параметра уравнение будет иметь два решения до того момента, когда график второй кривой коснется графика первой кривой слева (см. рис. 6).
Найдем значение параметра, отвечающее этому случаю касания. В точке касания производные обеих функций равна
Из этого уравнения находим абсциссу точки касания 
Значение второй функции в этой точке равно 
На рассматриваемом участке график первой функции задается уравнением 
Подставляя сюда координаты точки касания 
находим нужное значение параметра
Таким образом, на участке 
уравнение имеет два решения, а при 
оно имеет одно решение. При дальнейшем увеличении параметра (и движении графика второй функции дальше вправо) уравнение не будет иметь решений до тех пор, пока график второй функции не коснется правого участка графика первой функции (см. рис. 7).
Соответствующее значение параметра в силу симметрии со случаем первого касания должно быть противоположным по знаку 
Следовательно, при 
уравнение не имеет решений, а при 
решение уравнения единственно. При дальнейшем движении графика второй функции вправо конфигурация меняется симметрично рассмотренному раньше, а критические значения параметра меняют знак, т. е. при 
уравнение имеет два решения, а при 
одно решение и, наконец, при 
решений снова не будет.
В данном задании необходимо определить условия единственности решения, с учетом 2π-периодичности. Исходя из этого условия, получаем ответ.
Ответ: 
При каких α система уравнений 
не имеет решений?
Первое уравнение системы задает окружность радиуса 1 с центром, лежащим на окружности 
и полярным углом α. Второе уравнение задает окружность радиуса 3 с центром, лежащим на окружности 
и полярным углом 2α.
Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда эти окружности касаются. Угол между радиус-векторами центров этих окружностей равен α. Это обстоятельство позволяет определить значение параметра α, не обращаясь к положению окружностей относительно системы координат.
Рассмотрим случай внутреннего касания. Величина 
и длина O1O2 равна разности радиусов окружностей, т. е. 2. Применяя к треугольнику OO1O2 теорему косинусов, получаем
Рассмотрим случай внешнего касания. Величина и длина O1O2 равна сумме радиусов окружностей, т. е. 4. Применяя к треугольнику OO1O2 теорему косинусов, получаем
Ответ: 
При каком минимальном значении параметра a уравнение
имеет более двух корней на интервале 
Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.
Используя формулы тригонометрии, получим
или
Решим полученное квадратное уравнение, для этого найдем дискриминант 
так как он всегда положителен, то 
произведение полученных двух косинусов отрицательно. Проверим выполнение неравенств:
то есть
Следовательно, когда параметр a рассматривается на отрезке [−1, 1] уравнение относительно косинуса имеет 2 различных корня (разных знаков). При этом на интервале 
будет находиться 4 корня, если 
При 
только три корня лежат в указанном интервале
При значениях параметра меньше −1 существует только косинус, принимающий положительные значения, и исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет только 
Сумма полученных корней 3π.
Ответ: 3.
При каком максимальном значении параметра 
уравнение
имеет более двух корней на интервале Найдите корни уравнения при указанном значении параметра. В ответе запишите сумму полученных корней уравнения, деленную на π.
Преобразуем выражение
Сделаем у исходном уравнении замену 
тогда исходное уравнение примет вид
или 
Дискриминант уравнения 
следовательно, уравнение всегда имеет два корня разных знаков
Проверим выполнение неравенств
то есть
Следовательно, когда параметр a рассматривается на отрезке 
уравнение относительно косинуса имеет 2 различных корня (разных знаков). При этом на интервале будет находиться 4 корня, если 
При 
только три корня лежат в указанном интервале 
При значениях параметра больше 
существует только косинус, принимающий положительные значения, и исходное уравнение будет иметь не более двух корней. Значит, условию задачи удовлетворяет только 
Сумма полученных корней 3π.
Ответ: 3.
Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра a.
Замена: 
и 
тогда 
Имеем
Система распадается на совокупность 3 систем:
В системе координат Oxa изобразим решение системы
1) Имеем решение 
при 
Toгда
и
При записи ответа через 
нужно учитывать знаки 
то есть при 
имеем
а при 
имеем
2) Имеем решение 
при 
Тогда
и
или
3) Имеем решение 
при 
Тогда
и
или
Ответ: 
1) при 
имеем 
2) при 
имеем 
3) при 
имеем 
4) при 
имеем 
1) при имеем
2) при имеем
3) при имеем
4) при имеем
Укажите наименьшее значение параметра a, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение
Перепишем уравнение в виде
Рассмотрим отдельно выражение
его можно переписать в виде:
Учитывая, что корень принимает значения от 0 до 3, то 
тогда 
Найдем, в каких пределах изменяется параметр:
Ответ: 2.
При каких значениях параметров a и b уравнение
имеет единственное решение.
Обозначим
имеет единственное решение?» Это уравнение имеет единственное решение только при 
(это очевидно следует из свойств графика функции 
). Тогда переходим к решению системы 
Так как 
а 
то последнее равенство возможно только при выполнении следующих условий
Вернемся к исходной системе. Решение уравнения 
даёт 
или 
Ответ: 
или 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 1–2 | Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях |
| 3–5 | Верно выполнен чертеж, раскрывающий идею решения задачи, но при этом решение не получено |
| 6–10 | Решение получено, но сделаны существенные ошибки, или в решении имеются существенные пробелы |
| 11–14 | Приведено решение, имеющее пробелы или неточности, или в результате арифметической ошибки получен неверный ответ |
| 15 | Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ |
или При каких значениях параметров a и b уравнение
имеет единственное решение?
Обозначим
имеет единственное решение?» Это уравнение имеет единственное решение только при (это очевидно следует из свойств графика функции ). Тогда переходим к решению системы 
Так как 
а 
то последнее равенство возможно только при выполнении следующих условий
Вернемся к исходной системе. Решение уравнения 
даёт или 
Ответ: или 
| Баллы | Критерии оценивания |
|---|---|
| 1–2 | Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях |
| 3–5 | Верно выполнен чертеж, раскрывающий идею решения задачи, но при этом решение не получено |
| 6–10 | Решение получено, но сделаны существенные ошибки, или в решении имеются существенные пробелы |
| 11–14 | Приведено решение, имеющее пробелы или неточности, или в результате арифметической ошибки получен неверный ответ |
| 15 | Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ |
или Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение
не имеет решений.
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, получаем
Разделив обе части на 
имеем
Данное уравнение не имеет решений при D < 0 т. е. a2 < 4.
Ответ: −1.
Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Известно, что множество значений выражения 
представляет собой отрезок 
Отсюда множество значений левой части уравнения — это
Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда
откуда 
Наименьшее целое решение этого неравенства — это a = −5. Это значение принадлежит области допустимых значений параметра.
Ответ: −5.
Наверх