РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7198 Добавить в вариант

При каких a уравнение $4 синус в квадрате x плюс 4 a косинус x минус 5 a=0$ имеет решения на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Искомые a принадлежат области значений функции

$a= дробь: числитель: 4 синус в квадрате x, знаменатель: 5 минус 4 косинус x конец дроби = дробь: числитель: 4 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 4 косинус x конец дроби$

на отрезке $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Замена $t= косинус x$ приводит к задаче нахождения области значений функции

$a= дробь: числитель: 4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 5 минус 4 t конец дроби$

на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ Исследование функции: Производная

$a в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =8 дробь: числитель: левая круглая скобка 2 t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 4 t правая круглая скобка в квадрате конец дроби$

неотрицательная на отрезке $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ поэтому

$a_\min =a левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ,$ $\quad a_\max =a левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка =1.$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка 0,8; 1 правая квадратная скобка .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметры и тригонометрия, Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь