Всего: 136 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–136
Добавить в вариант
и 
Окружность с центром в точке A и радиуса AB пересекает сторону BC в точках B 
и 
Посчитаем степень точки C двумя способами 
Три окружности с центрами в точках A, B и C и радиусами 6, 4 и 3 соответственно касаются друг друга внешним образом в точках D, E и F. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания D, E и F.
Внутри окружности взята произвольная точка М, отличная от центра окружности. Для каждой хорды окружности, проходящей через М и отличной от диаметра, обозначим через С точку пересечения касательных к окружности, проведённых через концы этой хорды. Доказать, что геометрическое место точек С является прямой.
равна половине длины 
а длина AQ вдвое больше длины 
Следовательно, длина стороны AB равна 
Следовательно, 
a высота из вершины I равна 
Эта высота и отрезки IP и IQ равны, как радиусы вписанной окружности, поэтому 
откуда Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A провели касательную к первой окружности, пересекающую вторую в точке C. Через точку B провели касательную ко второй окружности, пересекающую первую в точке D. Найти угол между прямыми AD и BC.
На отрезке АВ отмечена произвольная точка М, отличная от А и В. С одной стороны от прямой АВ выбрана точка С, а с другой — точки D и E такие, что треугольники АВС, АМD и МВЕ являются равносторонними. Обозначим через P, Q, R точки пересечения медиан треугольников АВС, АМD и МВЕ соответственно. Доказать, что: а) треугольник PQR — равносторонний, б) точка пересечения медиан треугольника PQR лежит на отрезке АВ.
и 
поэтому 
Следовательно, QT = BR, PT = PB и треугольники QTP и RBP равны по углам 
и парам прилегающих к ним сторон. Кроме того, угол между соответственными сторонами PT и PB тоже равен 60°, значит, треугольник QTP получается из треугольника RBP поворотом относительно вершины Р на 60° по часовой стрелке. Следовательно, стороны QP и RP треугольника PQR равны и угол QPR между ними составляет 60°, значит, оставшиеся два угла также равны 60°, треугольник PQR — равносторонний.Имеются две окружности: с центром в точке А и радиусом 6 и с центром в точке В и радиусом 3. Их общая внутренняя касательная касается окружностей соответственно в точках С и D. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е. Найдите СD, если АЕ = 10.
Из треугольника ACE, по теореме Пифагора, находим 
Отсюда, 
а 
Имеются две окружности: с центром в точке А и радиусом 5 и с центром в точке В и радиусом 15. Их общая внутренняя касательная касается окружностей соответственно в точках С и D. Прямые АВ и СD пересекаются в точке Е. Найдите СD, если ВЕ = 39.
Поэтому 
Из треугольника ACE, по теореме Пифагора, находим 
Отсюда, 
а 
На плоскости отмечены 2500 различных точек, каждая из которых красного или синего цвета. Для каждой синей точки нарисована окружность радиуса 1 с центром в этой точке. Оказалось, что на каждой нарисованной окружности лежат ровно две красные точки. Какое максимальное число отмеченных точек синего цвета могло быть?
и поэтому число попарных пересечений красных окружностей не превосходит 
Значит, синих точек не более чем 
и тогда всего точек не более чем 
Но всего точек 2500; следовательно, 
легко добиться: достаточно расположить 50 красных точек на одной прямой на близком расстоянии, нарисовать с центрами в этих точках окружности радиуса 1 и в точках пересечения этих окружностей расположить синие точки. Очевидно, что никакие три окружности не пересекутся в одной точке.На плоскости отмечены 3600 различных точек, каждая из которых красного или синего цвета. Для каждой синей точки нарисована окружность радиуса 1 с центром в этой точке. Оказалось, что на каждой нарисованной окружности лежат ровно две красные точки. Какое максимальное число отмеченных точек синего цвета могло быть?
следовательно, 
легко добиться: достаточно расположить 60 красных точек на одной прямой на близком расстоянии, нарисовать с центрами в этих точках окружности радиуса 1 и в точках пересечения этих окружностей расположить синие точки. Очевидно, что никакие три окружности не пересекутся в одной точке.На плоскости отмечены 4900 различных точек, каждая из которых красного или синего цвета. Для каждой синей точки нарисована окружность радиуса 1 с центром в этой точке. Оказалось, что на каждой нарисованной окружности лежат ровно две красные точки. Какое максимальное число отмеченных точек синего цвета могло быть?
легко добиться: достаточно расположить 70 красных точек на одной прямой на близком расстоянии, нарисовать с центрами в этих точках окружности радиуса 1 и в точках пересечения этих окружностей расположить синие точки. Очевидно, что никакие три окружности не пересекутся в одной точке.
поэтому 
и 
Даны две непересекающиеся окружности радиуса R. Прямая l1 пересекает первую окружность в точках A и B, а вторую — в точках C и D. Прямая l2 пересекает первую окружность в точках K и L, а вторую — в точках M и N. Известно, что
Найдите R.
или 
обозначим её за ℓ пусть длина отрезков, которые на ней высекают точки пересечения с окружностями, равна 2a. Так как окружности высекают на прямой равные хорды, то расстояния от центров окружностей до ℓ также равны: рассмотрев треугольник с вершинами в одной из точек пересечения окружности с прямой, центре окружности и проекции
(см. левый рис.). Если же центры находятся по разные стороны от прямой, то она проходит через S (см. правый рис.). Обозначив проекцию O1 на ℓ за 
а одно из пересечений первой окружности с ℓ за 
получаем 
либо параллельна отрезку 
либо проходит через его середину; но обе они быть параллельны не могут, так как тогда 
и обе проходить через середину они тоже не могут, так как в этом случае 
при 
Значит, первая прямая параллельна O1O2, а вторая проходит через S. Тогда 
Математической моделью шарикового подшипника является кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями K1 и K2 радиусов r (внутреннее) и R (внешнее), а также n окружностей (шариков) радиуса ρ, расположенных внутри кольца, касающихся между собой и окружностей K1 и K2. Напишите формулу зависимости радиуса внешней окружности R от ρ и n.
и 
Так как треугольник AOC равнобедренный и 
то OB является высотой, следовательно, треугольник AOB прямоугольный. Тогда 
Отсюда получаем 
Найдите диаметр окружности, если известно, что CD = 12.
Марк Уотни испытывает на прочность новый купол, предназначенный для экспедиции на Марс. Купол выполнен в форме полусферы радиуса 20 м. Марк поворачивается на север и стреляет под углом 45° к земле, потом поворачивается на юг и тоже стреляет под углом 45° (см. рис.). Какие значения может принимать
— расстояние между точками попадания?
Окружности K1 и K2 с центрами в точках O1 и O2 одинакового радиуса r касаются внутренним образом окружности K радиуса R с центром в точке O. Угол O1OO2 равен 120°. Найти радиус q окружности, касающейся K1 и K2 внешним образом и
Рассмотрим треугольник OO1Q. Запишем теорему косинусов: 
проведены взаимно перпендикулярные хорды, которые точкой пересечения делятся в отношении 6 : 1 и 2 : 3. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения хорд.
и 
По теореме о пересекающихся хордах 
Проведем серединные перпендикуляры OM и ON к хордам AC и BD соответственно. Тогда 
откуда 
и 
Найдите:
и 
и 
