Всего: 136 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
Три окружности, радиусов 3, 3 и 
расположены так, что треугольник, образованный центрами этих окружностей, является равносторонним со стороной 3. Найдите, чему равен радиус описанной окружности около треугольника, каждая из вершин которого является точкой пересечения двух из этих окружностей, дальней от центра третьей окружности.
Треугольник, образованный центрами окружностей, правильный, поэтому точка 
также окажется на это м œрединном перпендикуляре. Следовательно, вся картинка симметрична относительно этого серединного перпендикуляра, в частности, точки B и C симметричны друг другу.
равнобедренный с вершиной A; кроме того, его стороны равны 
обозначим за 
за 
В треугольнике 
мы знаем все стороны, значит, мы можем найти 
Далее, 
равнобедренный с углами 
и 
следовательно, 
откуда 
следовательно, 
Четырехугольник ABCD вписан в окружность S. Окружности S1 и S2 касаются окружности S изнутри в точках A и C соответственно. Окружность S1 пересекается со сторонами AB и AD в точках K и N соответственно, окружность S2 пересекается со сторонами BC и CD в точках L и M соответственно. Оказалось, что прямые и параллельны. Докажите, что радиусы окружностей S1 и S2 равны.
—
Аналогично треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом подобия 
где 
—
Но эти отрезки относятся к отрезку BD как 
и Дан треугольник ABC, точка I — центр вписанной окружности, точка A1 взята таким образом, что точка A является серединой отрезка A1I. Докажите, что точка A1 и центры вневписанных окружностей треугольника ABC лежат на одной окружности.
точки D, E и 
и 
соответственно.
отрезок AO является средней линией, значит, 
Аналогичные равенства получаем и для остальных пар отрезков. Так как 
следовательно, 
лежат на одной окружности с центром в O1, что и требовалось доказать. Заметим, что вместо последнего абзаца можно было применить преобразование подобия (гомотетию) с центром в точке I и коэффициентом 2.Дан треугольник ABC, точка I — центр вписанной окружности, точки A1, B1, C1 взяты таким образом, что точки A, B, C являются серединами отрезков A1I, B1I, C1I соответственно. Докажите, что точки A1, B1, C1 и центр вневписанной окружности треугольника ABC лежат на одной окружности.
соответственно.
Аналогичные равенства получаем и для остальных пар отрезков. Так как 
следовательно, 
Неравнобедренный треугольник ABC периметра 12 вписан в окружность 
Точки P и Q — середины дуг ABC и ACB соответственно. Касательная, проведенная к окружности 
в точке A, пересекает луч PQ в точке R. Оказалось, что середина отрезка AR лежит на прямой BC. Найдите длину отрезка BC.
—
будут биссектрисами треугольника ABC, а прямые 
—
а окружность 
с 
Следовательно, 
Аналогично, 
Таким образом, PQ — средняя линия треугольника 
Докажем, что 
Действительно, 
поскольку 
а поскольку треугольник AKL прямоугольный, то и 
Следовательно, ALRK — прямоугольник и 
Мы получаем, что прямые PQ и LR параллельны 
и имеют общую точку R. Тогда эти прямые совпадают. Это означает, что точка L лежит на средней линии треугольника 
и, следовательно, делит пополам отрезок 
Далее, применив свойство внешней биссектрисы к треугольникам ABL и ACL, получим 
и, следовательно, 
Из точки O выходят лучи l, l1, l2, угол между l и l2 острый, луч l1 лежит внутри этого угла. На луче l лежит фиксированная точка F и произвольная точка L. Через точки F и L проходят окружность, касающаяся луча l1 в точке L1, и окружность, касающаяся луча l2 в точке L2. Докажите, что окружность FL1L2 проходит через некоторую точку, отличную от точки F и не зависящую от выбора точки L.
Значит, серединный перпендикуляр к отрезку 
совпадает с биссектрисой угла 
Поэтому любая окружность, проходящая через точки 
и 
симметрична относительно этой биссектрисы. Значит, окружность, проходящая через точки 
и 
проходит через точку 
которая симметрична точке F относительно биссектрисы угла 
и 
по симметрии относительно биссектрисы угла R. Отсюда симметричные отрезки RA, RB образуют со сторонами углы, равные 
а сумма соответствующих углов между хордой и касательной 
прямой, то C и D совпадают с точками касания окружностей и угла.
то AC и AD должны быть симметричны AB относительно радиусов соответствующих окружностей. Из этой симметричности ясно, что такие точки C и D единственны. Значит, если мы покажем, что точки касания подходят на их роль, мы победим. Пусть радиус маленькой окружности равен 1, большой — R. Тогда из теоремы Пифагора для 
получим: 
а именно 
Пусть A′ — середина этого отрезка, тогда не очень трудно проверить, что она лежит на обеих 
Осталось убедиться, что 
значит, 
Две равные окружности пересекаются в точках P и Q. Произвольная прямая, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B, а касательные к окружности в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковыми углами.
и 
Следовательно, 
ч. т. д.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через Q проведена прямая, перпендикулярная PQ, которая повторно пересекает окружности в точках A и B, а касательные к окружностям в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковым углом.
Поскольку на отрезок PC опираются два прямых угла 
и 
то четырехугольник APBC вписанный (левый рис.). 
и 
Следовательно, 
и 
(правый рис.).Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через Q проведена прямая, перпендикулярная PQ, которая повторно пересекает окружности в точках A и B (причем точка Q лежит между A и B), а касательные к окружностям в этих точках пересекаются в точке C. Докажите, что отрезки AQ и CB видны из точки P под одинаковыми углами.
ч. т. д.
треугольник DOB прямоугольный и 
тогда радиус окружности равен
Решим:
следовательно,
и 
Необходимо найти 
откуда 
и 
Значит,
следует, что 
тогда 
и 
следовательно, 
Центры трех попарно касающихся друг друга окружностей разных радиусов лежат в вершинах прямоугольного треугольника. Найти площадь этого треугольника, если известно, что радиусы наибольшей и средней окружностей соответственно соответственно 6 см и 4 см.
и треугольник ABC — прямоугольный. Найти 
Радиус малой окружности обозначим r, 
отсюда 
то есть
значит, 
Центры трех, попарно касающихся друг друга окружностей разных радиусов лежат в вершинах прямоугольного треугольника. Найти радиус меньшей окружности, если известно, что радиусы наибольшей и средней окружностей соответственно равны 6 см и 4 см.
и 
Найти r. 
Тогда 
следовательно,
и 
Необходимо найти R. Замечаем, что 
где 
то есть 
Тогда
В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD. Определите расстояние между серединой отрезка AD и прямой BC, если AC = 6, BC = 5, BD = 3. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
N — точка пересечения хорд, M — середина AD, H — точка пересечения прямых MN и BC. Обозначим 
Из подобия 
и 
и теоремы Пифагора получаем 
В итоге 
даёт 
Четырехугольник KLMN со сторонами KL = 4, LM = 10, MN = 12 вписан в окружность. Определите расстояние между серединой отрезка KN и прямой LM, если прямые KM и LN перпендикулярны. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
Знайка вырезал из бумаги полукруг. Незнайка отметил на диаметре AB этого полукруга точку D и отрезал от полукруга Знайки два полукруг с диаметрами AD и DB. Найдите площадь оставшейся фигуры, если длина лежащей внутри нее части хорды, проходящей через точку D перпендикулярно AB, равна 6. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
получаем, что 
то 
следовательно, 
