сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Три окруж­но­сти, ра­ди­у­сов 3, 3 и 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 39 минус 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та , рас­по­ло­же­ны так, что тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный цен­тра­ми этих окруж­но­стей, яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ним со сто­ро­ной 3. Най­ди­те, чему равен ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти около тре­уголь­ни­ка, каж­дая из вер­шин ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния двух из этих окруж­но­стей, даль­ней от цен­тра тре­тьей окруж­но­сти.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть A, B, C  — ука­зан­ные точки пе­ре­се­че­ния пер­вой и вто­рой, вто­рой и тре­тьей, пер­вой и тре­тьей окруж­но­стей со­от­вет­ствен­но, O1, O2, O3,  — цен­тры этих окруж­но­стей.

Ра­ди­у­сы пер­вой и вто­рой окруж­но­стей равны, сле­до­ва­тель­но, точка A попадёт на œре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к  O_1 O_2. Тре­уголь­ник, об­ра­зо­ван­ный цен­тра­ми окруж­но­стей, пра­виль­ный, по­это­му точка  O_3 также ока­жет­ся на это м œре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре. Сле­до­ва­тель­но, вся кар­тин­ка сим­мет­рич­на от­но­си­тель­но этого се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра, в част­но­сти, точки B и C сим­мет­рич­ны друг другу.

Тре­уголь­ник  O_1 AO_2 рав­но­бед­рен­ный с вер­ши­ной A; кроме того, его сто­ро­ны равны  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , и 3 от­ку­да легко ищут­ся его углы: 30°, 30° и 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда \angle O_1 A C обо­зна­чим за  альфа _1 \angle C O_1 O_3 за  бета . В тре­уголь­ни­ке C O_1 O_3 мы знаем все сто­ро­ны, зна­чит, мы можем найти

 ко­си­нус бета = дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 9 минус 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 39 минус 18 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 3 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Со­от­вет­ствен­но,  синус бета = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . Далее,

\angle A O_1 C=\angle A O_1 O_2 плюс \angle O_2 O_1 O_3 плюс \angle O_3 O_1 C=30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс бета =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс бета .

Тре­уголь­ник C O_1 A рав­но­бед­рен­ный с уг­ла­ми  альфа , 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс бета и  альфа _1 сле­до­ва­тель­но,  альфа = дробь: чис­ли­тель: 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да

 ко­си­нус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ конец ар­гу­мен­та минус бета пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс синус бета , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Со­от­вет­ствен­но,

 синус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Кроме того,

A C=2 O_1 A ко­си­нус альфа =2 умно­жить на ко­рень из 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Тогда \angle B A C=120 минус 2 альфа =30 плюс бета _1 сле­до­ва­тель­но,

 синус \angle B A C = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 плюс 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 26 конец дроби ,

 ко­си­нус \angle B A C = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 5, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби ,

 синус \angle A B C= ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: \angle B A C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус \angle B A C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 21 плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 52 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме си­ну­сов,

 R= дробь: чис­ли­тель: A C, зна­ме­на­тель: 2 синус \angle A B C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =12 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 12 минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .


Аналоги к заданию № 793: 883 Все