РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5143 Добавить в вариант

Три окружности с центрами в точках A, B и C и радиусами 7, 5 и 4 соответственно касаются друг друга внешним образом в точках D, E и F. Найдите радиус окружности, проходящей через точки касания D, E и F.

Спрятать решение

Решение.

Докажем, что окружность, проходящая через точки касания D, E и F, вписана в треугольник ABC. Установим равенство углов, отмеченных на рисунке дугами $левая круглая скобка \angle F D E=\angle A E F правая круглая скобка :$

$\angle F D E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D B минус \angle E D C=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: \angle B плюс \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A, знаменатель: 2 конец дроби =\angle A E F.$ $\angle F D E=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D B минус \angle E D C=$
$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle B, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle C, знаменатель: 2 конец дроби =$
$= дробь: числитель: \angle B плюс \angle C, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A, знаменатель: 2 конец дроби =\angle A E F.$

Далее установим, что искомая окружность с центром в точке O касается стороны AC треугольника в точке E:

$\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$ $\angle O E A=\angle O E F плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F O E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 умножить на \angle F D E, знаменатель: 2 конец дроби плюс \angle F E A=$
$=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle F D E плюс \angle F E A=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Аналогично доказывается касания с двумя другими сторонами треугольника в точках D и F. Тогда радиус вписанной в треугольник окружности находится по формуле

$r= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: левая круглая скобка p минус a правая круглая скобка левая круглая скобка p минус b правая круглая скобка левая круглая скобка p минус c правая круглая скобка , знаменатель: p конец дроби конец аргумента ,$

где

$a=A B=7 плюс 5=12 ;$ $b=B C=5 плюс 4=9 ;$ $c=A C=7 плюс 4=11;$ $p= дробь: числитель: 12 плюс 9 плюс 11, знаменатель: 2 конец дроби =16.$

Следовательно,

$r= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 4 умножить на 7 умножить на 5, знаменатель: 16 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 8,75 конец аргумента =2,958039 \ldots$

Ответ: $r= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 35 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 8,75 конец аргумента =2,958039 \ldots$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Содержание критерия	Оценка	Баллы
Задача решена полностью.	+	14
Решение задачи, содержит верную общую схему решения, в котором отсутствуют некоторые обоснования.	±	10
Ответ получен, но не приведено доказательство основного факта «вписанности» окружности в треугольник	+/2	7
Решение в целом неверное или незаконченное, но содержит определенное содержательное продвижение в верном направлении.	∓	3
Задача не решена, содержательных продвижений нет.	−	0
Задача не решалась.	0	0

Аналоги к заданию № 5143: 5155 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 8, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь