Всего: 209 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 | 101–120 | 121–140 …
Добавить в вариант
и 
(Эта линия синусоида; впрочем, этот факт не используется в решении.) Интересующая нас фигура — пересечение двух вертикальных полос с «синусоидальной» — состоит из двух равных частей. Площадь каждой части вдвое больше ширины синей полосы, что нетрудно установить, переставив криволинейный треугольник, как показано на последнем рисунке. А ширина синей полосы — это длина дуги, найденная ранее. 
На координатной плоскости отмечены точки: 
если отмечены точки 
Удастся ли рано или поздно отметить точку на прямой 
число 
Несложно проверить, что 
и 
и 
эта величина 
делится на 5.
При этом требуется, чтобы 
и 
имели разные знаки (или одно из них равнялось нулю), или чтобы x равнялся 1. Если исключить вариант 
(дающий нулевую площадь), то остаётся часть плоскости, ограниченная отрезком прямой 
и 
Разрезав эту фигуру на две части по оси абсцисс и переложив верхнюю часть под нижнюю, получим квадрат площади 1. 
и 
(или 22).
которая касается параболы 
в ее вершине, имеет диаметр 1. Каждая из последующих 
— радиус n-ой окружности, 
-ой
а ее уравнение имеет вид 
означает единственность решения уравнения 
Так как 
то 
и т. д. по индукции получаем 
в котором 
означает целую часть числа x.
где m — целое, 
то 
Тогда исходное уравнение можно переписать в виде 
Это парабола с корнями 0 и 1 и с ветвями, направленными вверх. Поэтому полученное двойное неравенство может выполняться на некотором отрезке, расположенном левее точки 
и на некотором другом отрезке, расположенном правее точки 
Рассмотрим их по очереди. 
Легко вычислить (устно), что 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид 
аналогично вычисляем (также устно) 
В этом случае 
и исходное Уравнение принимает вид 
расположена выше прямой 
Докажите, что парабола 
расположена выше прямой 
расположена выше прямой 
равносильно двум условиям: ветви параболы направлены вверх, т. е. 
и парабола не пересекается с прямой, т. е. уравнение 
не имеет решений. Значит, дискриминант уравнения отрицателен, т. е. 
В частности, это означает, что 
Тогда ветви параболы 
также направлены вверх, и нам нужно лишь доказать, что у нее нет пересечений с прямой, т. е. что уравнение 
не имеет решений. Для этого нужно проверить отрицательность его дискриминанта. Но он равен 
Необходимо построить дорогу, вымощенную бетонными плитами. Она пройдёт в местности, где есть прямолинейный участок линии электропередач (ЛЭП) и завод по производству плит, находящийся на расстоянии d от ЛЭП 
Для ритмичной работы требуется, чтобы каждая точка строящейся дороги была одинаково удалена от завода и от ЛЭП. Какой линией на плоскости описывается строящаяся дорога? Введите подходящую систему координат и найдите уравнение линии, описывающей дорогу, в этой системе координат; определите тип линии.
вдоль ЛЭП. Пусть для определенности дорога проходит в полуплоскости 
Тогда ЛЭП будет соответствовать прямая 
—
а расстояние между точкой M и ЛЭП 
Имеются три электрогенератора, их мощности 
меньше 1 МВт. При анализе энергосистемы с такими генераторами выяснилось, что для осуществления некоторого процесса необходимо условие
Какова при его выполнении максимальная совместная мощность всех трех генераторов?
на промежутке 
Функция выпукла вниз (видно на графике), поэтому 
линейна (никуда не выпукла) на интервале X тогда и только тогда, когда для любых 
выполняется равенство 
выпукла вниз на X, следовательно
выпукла вверх на X, следовательно
в одной системе координат с одинаковыми 
и значениями 
Отсюда получим требуемое неравенство 
Пересечением является фигура, состоящая из двух областей — сектора круга CAD и треугольника CAB (см. рис.). Найдем площадь сектора 
тогда 
где 
Получаем 
Формула равна 
находим ее значения 
и 
проходящими через точку M(
)
с целыми коэффициентами, графики которых проходят через 
и 
Из второго уравнения следует, что 
или 
и 
Тогда 
и 
Следовательно, 
Но это уравнение не имеет целых корней. Действительно, 
и, значит, 
но тогда 
и 
Тогда 
и 
Поэтому 
или 
В первом случае 
во втором b получается нецелым.
проходящими через точку 
неравенство примет вид 
получим неравенство 
и 
— это внутренняя часть круга с центром в точке 
радиуса 
и 
Отрезки AC и 
равны и перпендикулярны, следовательно, ABCD квадрат с диагоналями, равными 4, стороной, равной 
площадью, равной 8. 
В результате искомая площадь равна 
угол между которыми равен 60°.
угол между которыми равен 60°. 
Уравнение
т. е. 
следует:
Учитывая (2), получаем условие:
и k2 = 0. Тогда уравнения касательных: 
и 
точка 
и 
В этом случае, уравнения касательных: 
или 
угол между которыми равен 45°.
угол между которыми равен 45°. 
и 
Уравнение 
и 
k1 = 2 и k2 = −3. Уравнения касательных: 
и 
или 
определена на всей числовой оси и принимает все значения из промежутка 
График функции g(x) изображен на рисунке. Функция 
определена для 
При 
функция 
причем множество значений этой функции есть отрезок [0; 5]. Для нахождения множества значений функции 
достаточно найти множество значений функции 
на промежутке [0; 5]. На указанном промежутке g(x) принимает все значения из множества [−1; 2]. 