Найдите количество пар целых чисел (a; b) таких, что и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
такова, что число 2S кратно 5.
Решение.
Данная система неравенств задаёт на плоскости треугольник с вершинами и Этот треугольник прямоугольный, его удвоенная площадь равна произведению катетов, то есть. ab. По условию поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
При указанных ограничениях есть 16 значений a и 6 значений b, кратных 5. Значит, существует пар таких, что и пар таких, что Кроме того, есть пар таких, что оба числа a и b делятся на 5. Тогда всего искомых пар
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению
и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (3; 0), а вся система — часть этого круга, лежащую в полуплоскости Площадь этого сегмента равна разности площади круга и площади сегмента этого круга, находящегося в полуплоскости Поскольку центральный угол этого сегмента равен получаем, что его площадь S равна
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению
и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Первое неравенство задаёт круг радиуса 5 с центром (0; 4), а вся система — часть этого круга, лежащую в полуплоскости Площадь этого сегмента равна разности площади круга и площади сегмента этого круга, находящегося в полуплоскости Поскольку центральный угол этого сегмента равен получаем, что его площадь S равна
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами площадь которого равна 60.
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами площадь которого равна 96.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 45 натуральных значений x: ..., При этом y принимает целые значения только при чётных x — всего 22 возможности. Итак, получаем 22 точки, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 22.
Критерии проверки:
Решено неравенство (или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество чётных натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 22 натуральных значений x: ..., При этом y принимает целые значения только при чётных x — всего 11 возможностей. Итак, получаем 11 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 11.
Критерии проверки:
Решено неравенство (или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество чётных натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 41 натуральное значение x: ..., При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 13 возможностей. Итак, получаем 13 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 13.
Критерии проверки:
Решено неравенство или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество кратных трём натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 26 натуральных значений x: ..., При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 8 возможностей. Итак, получаем 8 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 8.
Критерии проверки:
Решено неравенство или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество кратных трём натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 21 натуральное значение x: ..., При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 7 возможностей. Итак, получаем 7 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 7.
Критерии проверки:
Решено неравенство (или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество кратных трём натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению
и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами площадь которого равна 60.
Найдите количество точек плоскости xOy, имеющих натуральные координаты (x, y) и лежащих на параболе
Решение.
Найдём те значения x, при которых y положителен:
откуда На этом промежутке существует 14 натуральных значений x: ..., При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 4 возможностей. Итак, получаем 7 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
Ответ: 4.
Критерии проверки:
Решено неравенство (или — 2 балла.
Сформулировано утверждение, что надо найти количество кратных трём натуральных чисел из полученного промежутка — 2 балла.
Изобразите на плоскости (x; y) множество точек, удовлетворяющих уравнению
и найдите площадь полученной фигуры.
Решение.
Заметим, что равенство выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств
Эта система задаёт на плоскости треугольник с вершинами площадь которого равна 96.
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой
Решение.
Первое множество есть внутренность круга радиуса Второе неравенство равносильно
Изобразив на плоскости кривые и получаем, что системе удовлетворяет заштрихованная область. Учитывая, что отмеченные цифрой 1 области одинаковы, а также одинаковы области, отмеченные цифрой 2, получаем, что искомая площадь равна площади полукруга радиуса то есть равна
и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
и 
Этот треугольник прямоугольный, его удвоенная площадь равна произведению катетов, то есть. ab. По условию 
поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
пар
таких, что 
и 
пар
Кроме того, есть 
пар
эквивалентно условию 
— 1 балл.
выполняется тогда и только тогда, когда числа a и b неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств 
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 
получаем, что его площадь S равна
Поскольку центральный угол этого сегмента равен 
получаем, что его площадь S равна
и найдите площадь полученной фигуры.
выполняется тогда и только тогда, когда числа a, b и c неотрицательны (так как если хотя бы одно из них отрицательно, то левая часть больше правой). Поэтому первое уравнение равносильно системе неравенств 
площадь которого равна 60.
и найдите площадь полученной фигуры.
площадь которого равна 96.
На этом промежутке существует 45 натуральных значений x: 
..., 
При этом y принимает целые значения только при чётных x — всего 22 возможности. Итак, получаем 22 точки, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
(или 
— 2 балла.
На этом промежутке существует 22 натуральных значений x: 
При этом y принимает целые значения только при чётных x — всего 11 возможностей. Итак, получаем 11 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
На этом промежутке существует 41 натуральное значение x: 
При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 13 возможностей. Итак, получаем 13 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
или 
— 2 балла.
и 
(первая четверть). Тогда 
неравенству удовлетворяют все точки первой четверти. 
и 
в этом случае x отрицателен, поэтому 
(третья четверть). Тогда 
радиуса 1 или внутри неё. 
(четвёртая четверть). Тогда 
в этом случае y отрицателен, поэтому 
или ниже. Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, представляет собой объединение:
(площадь 1);
(площадь 
На этом промежутке существует 26 натуральных значений x: 
При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 8 возможностей. Итак, получаем 8 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
неравенству удовлетворяют все точки первой четверти. В этом случае x положителен, поэтому 
в этом случае x отрицателен, поэтому 
в этом случае y отрицателен, поэтому 
или ниже. Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, представляет собой объединение:
(площадь 1);
(площадь 4).
На этом промежутке существует 21 натуральное значение x: 
При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 7 возможностей. Итак, получаем 7 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
(или 
— 2 балла.
площадь которого равна 60.
На этом промежутке существует 14 натуральных значений x: 
При этом y принимает целые значения только при x, делящихся на 3 — всего 4 возможностей. Итак, получаем 7 точек, принадлежащих параболе, у которых обе координаты являются натуральными числами.
— 2 балла.
Второе неравенство равносильно 
и 
получаем, что системе удовлетворяет заштрихованная область. Учитывая, что отмеченные цифрой 1 области одинаковы, а также одинаковы области, отмеченные цифрой 2, получаем, что искомая площадь равна площади полукруга радиуса 
то есть равна 