Всего: 209 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …
Добавить в вариант
а) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Докажите, что не существует прямых, касающихся графика функции 
в двух разных точках.
а)Преобразуем неравенство
Поскольку знак выражения 
совпадает со знаком выражения 
можно записать неравенство в виде
Первый множитель положителен при 
отрицателен при 
и равен нулю при 
Второй множитель, 
представляет собой убывающую функцию (
убывает, x возрастает, равную нулю при 
поэтому он положителен при 
и отрицателен при 
а при 
он не определен. Нужно, чтобы множители имели одинаковый знак, поэтому ответом будет 
Ответ:
б) Обозначим 
тогда
Поскольку 
тогда 
Поделим на него 
получим 
или 
В первое неравенство годятся только x, при которых 
то есть 
Неравенство 
имеет решения
при 
Окончательно 
Ответ: 
в) Если бы такая прямая существовала, то ее угловой коэффициент был бы равен значению производной функции 
в двух различных точках. Поскольку
квадратный трехчлен, его значения одинаковы в точках, симметричных относительно 
Допустим это точки 
причем 
Тогда уравнения касательных будут
и, аналогично, 
Тогда получим
Поскольку 
можно разделить на 
тогда
Значит 
и 
должны быть корнями уравнения
Но это уравнение можно записать в виде 
поэтому у него нет двух различных корней. Кубический многочлен не может делиться 
—
Теорема. Пусть 
— многочлен и 
Тогда делится на 
Действительно, так как 
то 
где 
— многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем 
откуда 
значит, 
и 
Следствие. Если прямая, заданная уравнением 
касается графика многочлена в точке 
то разность 
делится на
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках. Если прямая 
(
— линейная функция) касается графика 
в точках с абсциссами 
и 
то разность 
делится на 
значит,
где 
— квадратный трехчлен. Пусть 
— еще одна двойная касательная. Тогда 
откуда
Если 
то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
a) Решите неравенство 
б) Решите неравенство 
в) Найдите все прямые, касающиеся графика функции 
в двух различных точках.
Два первых пункта этой задачи абсолютно стандартны.
а) Решите неравенство 
Ответ: 
б) После замены 
и обычных преобразований получаем неравенство 
значит, (учитывая, что 
или 
Ответ: 
в) Решение задачи этого пункта уже не является стандартным. Целесообразно записать
График 
касается оси абсцисс в точках 
и 
(см. рис.), поэтому график данной функции касается прямой 
в точках с такими же абсциссами. Этот факт очевиден с геометрической точки зрения. Пусть два графика имеют общую касательную. Если добавить к каждой из данных функций одно и то же слагаемое, то новые графики также будут иметь общую касательную. Приведем в нашем случае и формальное доказательство.
Пусть 
и 
Имеем: 
и 
поэтому 
Остается открытым вопрос о единственности такой «двойной» касательной. С геометрической точки зрения все очевидно, достаточно взглянуть на эскиз графика функции g (см. рис.). Для аккуратного доказательства единственности следовало бы использовать выпуклость этого графика, поэтому мы изберем другой, алгебраический, подход.
Поскольку утверждение, которое мы сейчас докажем, имеет общий характер, сформулируем его в виде теоремы.
Теорема. Пусть — многочлен и Тогда делится на
Действительно, так как то где — многочлен. Продифференцировав это равенство, получаем откуда значит, и
Следствие. Если прямая, заданная уравнением касается графика многочлена в точке то разность делится на (Попробуйте доказать это следствие самостоятельно).
Докажем теперь, что график многочлена четвертой степени имеет не более одной прямой, касающейся его в двух различных точках.
Если прямая ( — линейная функция) касается графика в точках с абсциссами и то разность делится на значит,
где — квадратный трехчлен. Пусть — еще одна двойная касательная. Тогда откуда
Если то такое равенство невозможно, поскольку в его правой части находится многочлен по крайней мере второй степени.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Найдите все такие значения a и b, что система неравенств
имеет единственное решение.
б) Докажите, что кривая
делит единичную окружность на восемь равных дуг.
в) Докажите, что при любом натуральном k уравнение 
разрешимо в целых числах.
а) Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами
и 
(замена 
). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при 
Ответ: 
и b — любое.
б) Перейдя к полярным координатам 
и 
после несложных преобразований получим уравнение 
поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен 
в) Пусть 
тогда числа 
и 
целые.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и b — любое.а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
?
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в)?
а) Вычисление стандартно.
Ответ: 
б) Запишем уравнение в виде
и исследуем функцию 
при 
при 
при 
Ответ ясен из приведенного на рисунке графика.
Ответ: 
в) Эта задача характерна тем, что бездумное использование графической интерпретации может привести к ошибке. На рисунке показаны эскизы графиков при не очень больших значениях аргумента. Ясно, что эти графики имеют одну точку пересечения с отрицательной абсциссой (монотонность и непрерывность), но не совсем понятно, что происходит на
Это уравнение имеет очевидное решение 
и, как следует из рисунке, существует и еще одно его решение на интервале 
Ответ: три решения.
г) Так как при нецелых x число 6x иррационально, то среди натуральных чисел решением может быть только 
(см. решение предыдущего пункта), которое таковым не является.
Ответ: одно рациональное решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно рациональное решение а) Найдите уравнения тех касательных к графику функции 
которые проходят через начало координат.
б) При каких a уравнение 
имеет решения?
в) Сколько решений имеет уравнение 
г) Сколько рациональных решений имеет уравнение пункта в?
а) Поскольку 
касательная в точке 
имеет уравнение 
то есть 
Если эта прямая проходит через начало координат, то 
откуда 
и уравнение касательной имеет вид 
Ответ: 
б) Если 
то 
—
поэтому графики 
и обязательно пересекутся где-то в области 
Если то корней очевидно нет. Пусть теперь 
Функция является выпуклой вниз (ее вторая производная 
), поэтому прямые, проходящие ниже касательной при положительных x не будут пересекать ее график, а проходящие выше касательной — будут (см. рис.). При 
имеем 
поэтому там пересечений не будет. Окончательно 
Ответ: 
в) Запишем уравнение в виде 
Ясно, что не было корнем исходного уравнения. Тогда
Исследуем теперь функцию в левой части. При 
она примет вид 
поэтому
что положительно при 
и отрицательно при 
значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
(мы использовали правило Лопиталя) и
Итак, функция принимает все значения из промежутка 
при и принимает все значения из промежутка 
при 
В частности 
поэтому такое значение при положительных x функция принимает дважды. Если же
то 
то есть функция 
нечетна. Значит, она при принимает значение 
столько же раз, сколько при принимает значение 
Это, очевидно, происходит один раз. Итого имеется три корня уравнения — по одному на промежутках 
Ответ: три решения.
г) Пусть 
—
Имеем 
отсюда ясно, что 
тогда 
Если 
то в левой части записано целое число, тогда в правой тоже должно быть целое число. Однако при возведении несократимой дроби в степень она не может стать сократимой, поэтому знаменатель ее будет равен 
а должен быть единицей, откуда 
и 
— то аналогично можно записать уравнение в виде 
откуда ясно, что 
(а значит 
).
Итак, либо x натуральное число, либо 
где b — натуральное. Ясно что 
подходит в уравнение. Это корень, лежавший на 
На 
есть всего два натуральных числа и они корнями не являются.
Наконец пусть 
и уравнение 
принимает вид 
что невозможно, поскольку 
тоже иррациональный. Итого один рациональный корень.
Ответ: одно решение 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
три решения. одно решение а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Задумав жениться, Иван открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на него 10 000 рублей. Сколько денег на семейный отдых он сможет тратить через 8 лет, если будет брать только проценты с накопленной за это время суммы? Банк дает 30% годовых, а 
а) Функция
— возрастающая и ее корень — 
Ответ: См. рисунок.
б) Возведя в квадрат, получим уравнение 
из корней которого следует взять лишь те, для которых 
в) Решение: Заметим прежде всего, что записать верное решение этой задачи, не используя ее геометрической интерпретации, достаточно трудно, что видно хотя бы из ответа. Положим для краткости его записи: 
Итак, ответ: 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
решение понятно из следующей серии графиков.
Ответ: 
г) (Прочитав формулировку задачи, один из моих коллег сказал, что ответ в ней — «ничего», поскольку банк, который выплачивает такой процент, заведомо прогорит. И, как мы увидели на практике, он оказался прав. Но это уже совсем другая наука...). Конечно, можно прямо подсчитать, сколько же денег на счету окажется у Ивана через 8 лет. Заметим, что проделать аналогичное вычисление при решении задачи 2г) следующего варианта будет более затруднительно, не говоря уже о том, что делать это без калькулятора просто глупо.
Мы проведем вычисления в общем виде, воспользовавшись численными данными лишь на заключительном этапе решения. Итак, пусть a — вносимая Иваном ежегодно сумма, а 
— начисляемый годовой процент. В первый год он внес a рублей, так что после начисления годовых процентов через год у него на счету будет
Удобно ввести дополнительное обозначение 
так что если некто имел на счету в начале года s рублей, то после начисления процентов у него окажется sq рублей. Вернемся к Ивану. После того, как он в конце первого года внес снова свои a рублей, у него на счету стало их 
далее, в конце второго года их станет (после очередного
В нашем случае 
так как 
Поэтому имеется по крайней
Ответ: 90 000 рублей.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
90 000 рублей.а) В прямоугольнике ABCD 
Точки E и F делят сторону BC на три равные части. Докажите, что
б) Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты x, y которых удовлетворяют уравнению
в) Вычислите сумму
а) Нетрудно видеть, что данное равенство равносильно тому, что
которое верно, поскольку
б) Искомое множество есть объединение биссектрис координатных углов, 
Ясно, что точки, для которых 
удовлетворяют данному уравнению. Для того, чтобы показать, что других точек нет, найдем значения тангенса каждой из частей данного уравнения. Имеем
откуда следует, что 
или 
в) Поскольку
Теперь нетрудно догадаться и доказать по индукции, что сумма первых n слагаемых в данной бесконечной сумме равна 
при 
Ответ: 
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) Нарисуйте график функции 
б) Решите уравнение 
в) Решите неравенство 
г) Для того, чтобы обеспечить себя в старости, Джон открыл счет в банке и решил ежегодно вносить на 
а) См. рисунок
б) Возводя уравнение в квадрат, получим
Теперь нужно выбрать из этих ответов только те, для которых 
Например для 
нужно выбирать только четные k, 
аналогично и для 
нужно выбирать четные k.
в) Перепишем неравенство в виде 
Построим сначала график функции 
отразим его относительно вертикальной оси (получим график 
), сдвинем вправо на 
(получим график 
) и вниз на 
Теперь рассмотрим прямые, проходящие через начало координат и выясним, при каких x точка на прямой лежит выше соответствующей точки на графике или совпадает с ней. Пусть для начала a сильно отрицательное число. Тогда, очевидно, ответом будет 
Будем теперь увеличивать a. Ситуация будет меняться следующим образом. При некотором 
прямая пройдет через точку 
и к ответу добавится 
Затем прямая будет пересекать обе ветви графика и появится еще небольшой отрезок между точками пересечения. Затем при некотором 
прямая коснется левой ветви графика и ответом будут все x до точки пересечения с правой ветвью. Затем появится вторая точка пересечения с левой ветвью а ответом будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пересечения с правой ветвью.
Это будет продолжаться, пока a не станет нулем и первый промежуток не пропадет. Затем a станет положительно. подходить уже не будут, зато появится вторая точка пересечения с правой ветвью и к ответу добавятся все точки правее этой точки пересечения.
Это будет продолжаться, пока прямая не станет касательной к правой ветви при некотором 
С этого момента будут подходить все 
Осталось найти все эти точки пересечения и определить конкретные значения 
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с левой ветвью, получим
Иногда этот корень будет посторонним, но нам это неважно, поскольку мы уже определили по рисунку ситуации, когда он будет на самом деле.
Решим уравнение 
для поиска точек пересечения с правой ветвью, тогда
Из этих двух корней иногда нужен только один — тогда это меньший корень, 
Второй соответствует пересечению с нижней ветвью параболы 
которая не относится к графику (на рисунке показана пунктиром) можно найти из уравнения 
откуда 
и равно угловому коэффициенту касательной к линии 
в точке 
то есть производной от данной функции в точке 
Решим
что при дает 
Наконец 
должно быть таким положительным числом, при котором склеиваются точки пересечения прямой с правой ветвью графика, откуда
Поскольку 
следует выбрать 
Теперь можно написать ответ.
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
При 
г) На первые его 2 000 банк начислит проценты 26 раз, на вторые −25 и так далее, поэтому общий размер его вклада составит
Если вычесть из этой суммы 20000 долларов и потом начислить на остаток 
то вклад составит
и нужно сравнить это число с предыдущим остатком по вкладу. Докажем, что оно больше, тогда он сможет жить на проценты с вклада. Сравним
Заметим, что
поэтому
Знание 
не пригодилось. Чтобы его нормально использовать, нужно, кажется, тратить по 18 тысяч. Тогда надо будет доказывать, что 
что верно поскольку 
Ответ:
б) 
в) 
при 
при 
при 
при 
при 
при где 
г) да, достаточно.
| За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б)
в) при при при при при при где
г) да, достаточно.
На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите ее площадь
Рассмотрим первое неравенство. Для раскрытия модулей рассматриваем три возможных случая.
1) При 
Тогда неравенство принимает вид
В этом случае решений нет.
2) При 
Тогда получаем
что выполняется при всех значениях y из рассматриваемого промежутка.
3) При 
Тогда
то есть решений также нет. Объединяя результаты, получаем, что 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежащих 
Это множество точек есть парабола с ветвями вправо и вершиной в точке 
Точки пересечения прямой и параболы можно определить из системы уравнений
Отсюда выходят две точки — 
и
Второе неравенство выполняется:
а) в точках параболы (кроме точек A и C); — в точках справа от параболы и выше прямой (при этом и числитель, и знаменатель дроби положительны);
б) в точках слева от параболы и ниже прямой (и числитель, и знаменатель дроби отрицательны). Учитывая также 
и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD, где 
—
(его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат).
Из симметрии параболы относительно своей оси (т. е. прямой 
следует, что площадь фигуры 
ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Но 
а площадь этого треугольника несложно найти:
Ответ: 8.
Построено множество точек — 4 балла.
Если при этом неверно учтена граница множества (т. е. либо не исключены участки границы, на которых знаменатель обращается в 0, либо исключены участки границы, в которых числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, либо невозможно понять, какие из границ принадлежат множеству) — снять 1 балл.
На координатной плоскости рассматривается фигура M, состоящая из всех точек, координаты (x; y) которых удовлетворяют системе неравенств
Изобразите фигуру M и найдите ее площадь
Рассмотрим первое неравенство. Для раскрытия модулей рассматриваем три возможных случая.
1) При 
Тогда неравенство принимает вид
В этом случае решений нет.
2) При 
Тогда получаем
что выполняется при всех значениях x из рассматриваемого промежутка.
3) При 
Тогда
то есть решений также нет. Объединяя результаты, получаем, что 
Перейдём ко второму неравенству. Знаменатель дроби в его левой части обрушается в ноль в точках, принадлежащих 
Это множество точек есть парабола с ветвями вверх и вершиной в точке 
Отметим также, что парабола пересекает ось ординат в точке 
а прямая — в точке 
Точки пересечения прямой и параболы можно определить из системы уравнений
Отсюда выходят две точки — 
и 
Второе неравенство выполняется:
а) в точках параболы (кроме точек A и C);
б) в точках ниже параболы и выше прямой (при этом и числитель, и знаменатель дроби положительны);
в) в точках выше параболы и ниже прямой (и числитель, и знаменатель дроби отрицательны).
Учитывая также ограничение 
из первого неравенства, получаем, что множество M представляет собой совокупность двух множеств и 
первое из них есть криволинейный треугольник BCD (его сторонами являются отрезки CD, BD и дуга параболы BC), а второе — область, ограниченная отрезком AC и дугой параболы AC (при этом все точки прямой AC не принадлежат множеству, а остальные граничные точки — принадлежат). Из симметрии параболы относительно своей оси (т. е. прямой 
следует, что площадь фигуры ограниченной отрезком BC и дугой параболы BC, равна площади 
Ответ: 4.
Построено множество точек — 4 балла.
Если при этом неверно учтена граница множества (т. е. либо не исключены участки границы, на которых знаменатель обращается в 0, либо исключены участки границы, в которых числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, либо невозможно понять, какие из границ принадлежат множеству) — снять 1 балл.
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики 
и 
— параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции
если наименьшее значение функции 
Пусть 
и 
где 
Рассмотрим 
Раскрывая скобки, получаем
График 
—
ордината вершины равна 
Аналогично получаем, что минимальное значение выражения 
равно 
Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна −2, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 5, то второе 
Ответ: −7.
Неверная формула для вершины параболы (или для нахождения минимального значения квадратичной функции) — 0 баллов за задачу.
Найдена лишь вершина параболы, заданной первой функцией — баллы не добавляются.
Найдена константа 
— 3 балла.
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики 
и 
— параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции
если наименьшее значение функции 
Пусть и где Рассмотрим
Раскрывая скобки, получаем
График —
ордината вершины равна 
Аналогично получаем, что минимальное значение выражения равно 
Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна −32, следовательно, если одно из этих минимальных значений равно −29, то второе 
Ответ: −3.
Неверная формула для вершины параболы (или для нахождения минимального значения квадратичной функции) — 0 баллов за задачу.
Найдена лишь вершина параболы, заданной первой функцией — баллы не добавляются.
Найдена константа — 3 балла.
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики и 
— параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции 
если наименьшее значение функции 
Пусть и где 
Рассмотрим 
Раскрывая скобки, получаем
График —
Аналогично получаем, что минимальное значение выражения 
равно 
Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна 
следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 
то второе равно
Ответ: 
Неверная формула для вершины параболы (или для нахождения минимального значения квадратичной функции) — 0 баллов за задачу.
Найдена лишь вершина параболы, заданной первой функцией — баллы не добавляются.
Найдена константа —
Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики y = f(x) и y = g(x) — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции 
если наименьшее значение функции 
равно 
Пусть и где Рассмотрим
Раскрывая скобки, получаем
График 
— это парабола с ветвями вверх, минимальное значение принимается в вершине. Абсциссой вершины является
ордината вершины равна
Аналогично получаем, что минимальное значение выражения 
равно 
Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна 
следовательно, если одно из этих минимальных значений равно 
то второе равно
Ответ: 
Неверная формула для вершины параболы (или для нахождения минимального значения квадратичной функции) — 0 баллов за задачу.
Найдена лишь вершина параболы, заданной первой функцией - баллы не добавляются.
Найдена константа —
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру Φ, координаты точек которой удовлетворяют системе
неравенств
б) Найдите площадь фигуры Φ и расстояние от точки
Преобразуем первое неравенство:
Оно задаёт два вертикальных угла, границами которых являются прямые и 
(точки 
лежат внутри этих углов). Второе неравенство может быть переписано в виде
Оно задаёт круг с центром 
радиуса 2. Пересечение этих двух множеств и есть искомое множество.
Фигура Φ составляет ровно половину круга радиуса 2, поэтому её площадь равна 
Отметим точку E пересечения отрезка GT с окружностью. Тогда TE — это и есть кратчайшее расстояние от точки T до фигуры Φ. Отсюда
Ответ: 
Изображено множество решений первого неравенства — 3 балла.
Изображено множество решений второго неравенства — 1 балл.
Найдено площадь — 1 балл.
Найдено расстояние — 2 балла.
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру Φ, координаты точек которой удовлетворяют системе
неравенств
б) Найдите площадь фигуры Φ и расстояние от точки T (−6; 0) до ближайшей точки фигуры Φ.
Преобразуем первое неравенство:
Оно задаёт два вертикальных угла, границами которых являются прямые и (точки 
лежат внутри этих углов). Второе неравенство может быть переписано в виде
Оно задаёт круг с центром 
радиуса 3. Пересечение этих двух множеств и есть искомое множество.
Фигура Φ составляет ровно половину круга радиуса 3, поэтому её площадь равна
Отметим точку E пересечения отрезка GT с окружностью. Тогда TE — это и есть кратчайшее расстояние от точки T до фигуры Φ. Значит,
Ответ: 
Изображено множество решений первого неравенства — 3 балла.
Изображено множество решений второго неравенства — 1 балл.
Найдено площадь — 1 балл.
Найдено расстояние — 2 балла.
Изобразите на плоскости фигуру Φ, состоящую из точек (x; y) координатной плоскости таких, что выполнена система неравенств
Определите, из скольких частей состоит фигура Φ.
Первое неравенство равносильно системе неравенств
Первое из этих неравенств вместе со вторым неравенством исходной системы определяет множество точек, находящихся между двумя концентрическими окружностями с центром в (0; 0) радиусов 1 и 2. Третье неравенство задаёт полуплоскость справа от прямой 
Второе неравенство определяет два вертикальных угла, границами которых являются прямые 
и 
с уравнениями 
(такие два угла, что точка (0; 0) лежит внутри одного из них). При этом прямые и обе проходят через точку (−2; 0), лежащую на большей окружности, и касаются меньшей окружности в 
Пересекая все указанные множества, получаем фигуру Φ, состоящую, как несложно видеть, из одной части.
Ответ: 1.
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому неравенству системы — 4 балла.
За изображение второго множества (круг) — баллы не ставятся.
Правильно изображено взаимное расположение двух множеств (прямые, ограничивающие первое множество, касаются окружности, являющейся границей второго множества) — 2 балла.
Изобразите на плоскости фигуру Φ, состоящую из точек (x; y) координатной плоскости таких, что выполнена система неравенств
Определите, из скольких частей состоит фигура Φ.
Первое неравенство равносильно системе неравенств
Первое из этих неравенств вместе со вторым неравенством исходной системы определяет множество точек, находящихся между двумя концентрическими окружностями с центром в (0; 0) радиусов 1 и 2. Третье неравенство задаёт полуплоскость сверху от прямой 
Второе неравенство определяет два вертикальных угла, границами которых являются прямые и с уравнениями 
(такие два угла, что точка (0; 0) лежит внутри одного из них). При этом прямые и обе проходят через точку (3; 0), и касаются меньшей окружности в 
Пересекая все указанные множества, получаем фигуру Φ, состоящую, как несложно видеть, из одной части.
Ответ: 1.
Изображено множество точек, удовлетворяющих первому неравенству системы — 4 балла.
За изображение второго множества (круг) — баллы не ставятся.
Правильно изображено взаимное расположение двух множеств (прямые, ограничивающие первое множество, касаются окружности, являющейся границей второго множества) — 2 балла.
Найдите количество пар целых чисел (a; b) таких, что 
и при этом площадь S фигуры, заданной системой неравенств
такова, что число 2S кратно 5.
Данная система неравенств задаёт на плоскости треугольник с вершинами 
поэтому одно из чисел a или b должно делиться на 5.
При указанных ограничениях есть 14 значений a и 10 значений b, кратных 5. Значит, существует 
пар
и 
пар
Кроме того, есть 
пар таких, что оба числа a и b делятся на 
Тогда всего искомых пар
Ответ: 1260.
Изображено множество точек, удовлетворяющих системе неравенств — 1 балл.
Указано, что условие 
эквивалентно условию 
— 1 балл.
Подсчитано количество вариантов — 2 балла.
Наверх