a) Постройте эскиз графика функции 
б) Изобразите на плоскости множество точек 
координаты которых удовлетворяют равенству
в) Найдите все значения параметра a, при которых система
имеет два решения.
г) Докажите, что 
при 
а) Ясно, что вначале следует строить график функции
Вместо того чтобы проделать стандартное исследование при помощи производной, поступим по-другому. Поскольку 
где
то, построив (при помощи двух параллельных переносов) график функции g (см. рис.), далее будем рассуждать следующим образом. Функция 
монотонно возрастает, значит, функция 
убывает: от −1 до 
на интервале 
и от 
до −1 на луче 
Ответ: см. рис.
б) Поскольку отрезок 
является областью значений и синуса и косинуса, то 
Заметим, что наибольшее значение 
при 
не всегда равно a (типичная ошибка!), поскольку
(кстати, по определению степени с произвольными показателями, 
). Поэтому равенство имеет место при 
где 
и ветви гиперболы 
Ответ: см. рис.
в) Эта задача интересна тем, что естественный подход — посмотреть на картинки — может привести к неверному предположению.
Если 
то каждое из уравнений данной системы задает параболу с фиксированной вершиной. На рисунках изображены параболы для «очень отрицательного» значения a, когда система решений не имеет, и «очень положительного», когда ясно, что решений четыре (можно использовать непрерывность функций 
и характер их монотонности). Если 
то из симметричности картинки ясно, что возможные точки пересечения лежат на прямой откуда 
и 
Таким образом, похоже, что при 
система имеет одно решение (параболы касаются), а если 
то два. Случай 
несколько более загадочен. Опять-таки ясно, что при 
система имеет четыре решения, но что происходит, если 
Оказывается, параболы могут пересечься в четырех точках (см. рис.). Проделаем вычисления. Вычитая первое уравнение системы из второго, получаем 
откуда 
(этот случай был разобран), или же 
В последнем случае приходим к уравнению 
в котором удобно сделать замену 
Полученное уравнение 
имеет решение при 
Заметим, что если 
то 
и 
то 
Ответ: 
г) Решение основано на идее оценки подынтегрального выражения:
поэтому данный интеграл также стремится к нулю.