РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 27 № 980 Добавить в вариант

а)  Найдите все такие значения a и b, что система неравенств

$система выражений x плюс |y минус a| меньше или равно b,y больше или равно 2|x минус b| конец системы .$

имеет единственное решение.

б)  Докажите, что кривая

$x в степени 4 плюс 1994x в кубе y минус 6x в квадрате y в квадрате минус 1994xy в кубе плюс y в степени 4 =0$

делит единичную окружность на восемь равных дуг.

в)  Докажите, что при любом натуральном k уравнение $x в квадрате минус y в квадрате =k в степени левая круглая скобка 1993 правая круглая скобка$ разрешимо в целых числах.

Спрятать решение

Решение.

а)   Изобразим на плоскости множества, заданные неравенствами $t меньше или равно минус |y минус a|$ и $y больше или равно 2|t|$ (замена $t=x минус b$ ). Ясно (см. рис.), что они имеют единственную общую точку лишь при $a=0.$

Ответ: $a=0$ и b  — любое.

б)  Перейдя к полярным координатам $x=r косинус \varphi$ и $y=r синус \varphi,$ после несложных преобразований получим уравнение $тангенс 4\varphi= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 997 конец дроби ,$ поэтому данная кривая состоит из восьми проходящих через начало координат прямых. Угол между соседними прямыми равен $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

в)  Пусть $x минус y=k,$ $x плюс y=k в степени левая круглая скобка 1992 правая круглая скобка ,$ тогда числа $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка k плюс k в степени левая круглая скобка 1992 правая круглая скобка правая круглая скобка$ и $y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка k в степени левая круглая скобка 1992 правая круглая скобка минус k правая круглая скобка$ целые.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения, Анализ. Графики функций, уравнений, неравенств, Задачи с параметрами. Системы уравнений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь