сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  В пря­мо­уголь­ни­ке ABCD AB=1, BC=3. Точки E и F делят сто­ро­ну BC на три рав­ные части. До­ка­жи­те, что

\angle CAD плюс \angle EAD плюс \angle FAD=90 гра­ду­сов.

б)  Изоб­ра­зи­те на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты x, y ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию

 арк­тан­генс x плюс арк­тан­генс y=2 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

в)  Вы­чис­ли­те сумму

 арк­тан­генс 1 плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс \ldots плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби n в квад­ра­те плюс n плюс 1 плюс \ldots

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Не­труд­но ви­деть, что дан­ное ра­вен­ство рав­но­силь­но тому, что

 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

ко­то­рое верно, по­сколь­ку

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби =1.

б)  Ис­ко­мое мно­же­ство есть объ­еди­не­ние бис­сек­трис ко­ор­ди­нат­ных углов, т. е. мно­же­ство, за­дан­ное урав­не­ни­ем x в квад­ра­те =y в квад­ра­те . Ясно, что точки, для ко­то­рых x=\pm y, удо­вле­тво­ря­ют дан­но­му урав­не­нию. Для того, чтобы по­ка­зать, что дру­гих точек нет, най­дем зна­че­ния тан­ген­са каж­дой из ча­стей дан­но­го урав­не­ния. Имеем

 \eqalign тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс x плюс арк­тан­генс y пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 1 минус xy конец дроби , \cr тан­генс левая круг­лая скоб­ка 2 арк­тан­генс \tfracx плюс y2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 1 минус левая круг­лая скоб­ка \tfracx плюс y2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби ,

от­ку­да сле­ду­ет, что x плюс y=0 или xy= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , т. е. x минус y=0.

в)  По­сколь­ку

 тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 1 плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби =2 рав­но­силь­но арк­тан­генс 1 плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = арк­тан­генс 2 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но тан­генс левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 2 плюс арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец дроби =3.

Те­перь не­труд­но до­га­дать­ся и до­ка­зать по ин­дук­ции, что сумма пер­вых n сла­га­е­мых в дан­ной бес­ко­неч­ной сумме равна  арк­тан­генс n\to дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при n\to бес­ко­неч­ность .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.