Пусть где a, b, c  — цифры числа. Ясно, что для «круг­лых» чисел имеем Далее, если число N  — не круг­лое, то и а так как стар­шая цифра числа N равна a, то и

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние рас­смат­ри­ва­е­мо­го от­но­ше­ния равно 100. До­сти­га­ет­ся это зна­че­ние лишь для «круг­лых» чисел.

Ответ: 100.

Обо­зна­чим ис­ко­мое число За­ме­тим, что это число не мень­ше 101 (т. к. 100 не под­хо­дит). Сле­до­ва­тель­но,

тоже имеет такую же сумму цифр. Но у этого числа по­след­ние цифры, оче­вид­но, b и c, сле­до­ва­тель­но, сумма осталь­ных цифр долж­на быть равна a. Сле­до­ва­тель­но, Если то   — трех­знач­ное число, пер­вая цифра ко­то­ро­го не мень­ше a, что при­во­дит к про­ти­во­ре­чию, т. к. вто­рая и тре­тья цифра не могут быть ну­ля­ми. Таким об­ра­зом, и

По­это­му Но сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: 999.

Пусть x, y, z и u  — цифры та­ко­го числа, Тогда по усло­вию и по­это­му то есть де­лит­ся на 9, а k  — чет­ное число, ко­то­рое может при­ни­мать одно из двух зна­че­ний 2 или 4.

Слу­чай 1) Когда Тогда и Ва­ри­ан­тов вы­бо­ра удо­вле­тво­ря­ю­щих пер­во­му усло­вию и всего 9, ва­ри­ан­тов вы­бо­ра удо­вле­тво­ря­ю­щих вто­ро­му усло­вию −10. Таким об­ра­зом, в пер­вом слу­чае име­ет­ся 90 чисел удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи. Наи­мень­шее среди них 1809.

Слу­чай 2) Когда Тогда сле­до­ва­тель­но, и и от­сю­да и В этом слу­чае толь­ко одно число 9999. Всего по­лу­ча­ем 91 чисел.

Ответ: 91.

За­пи­шем ис­ко­мое число в виде Тогда от­ку­да

Оче­вид­но, может быть равно толь­ко 7 или 8. В слу­чае по­лу­чим   — не под­хо­дит. В слу­чае по­лу­чим сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Ра­вен­ство воз­мож­но при или но пер­вая цифра не может быть равна нулю, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1909.

За­ме­тим, что сле­до­ва­тель­но, по­это­му пер­вая цифра равна 1, а вто­рая  — 0 или 1. Сумма окан­чи­ва­ет­ся на 1, по­это­му по­след­няя цифра 9. По­лу­ча­ем число вида 10a9 или 11a9, по­лу­ча­ем урав­не­ние вида или Пер­вое дает ре­ше­ние вто­рое  — ре­ше­ния не имеет.

Ответ: 1099.

Обо­зна­чим через S(x) сумму цифр числа x. Тогда урав­не­ние не имеет ре­ше­ний при так как а

При ре­ше­ний тоже нет, так как (здесь a, b, c, d  — цифры числа):

При

После этого пе­ре­бор. В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ют­ся числа 324 и 648. При

ре­ше­ний нет.

Ответ: 324; 648.

Число 33N долж­но со­сто­ять из одних еди­ниц. Число де­лит­ся на 33, если оно де­лит­ся на 3 и на 11. Число со­сто­я­щее из одних еди­ниц де­лит­ся на 3, если число еди­ниц крат­но 3 и де­лит­ся на 11, если число еди­ниц крат­но 2. Наи­мень­шее такое число  — 111 111, зна­чит, от­ку­да

Ответ: 3367.

По­ка­жем вна­ча­ле, что ответ не мень­ше 2. Если сумма цифр числа равна 1, то а де­ся­тич­ная за­пись n со­сто­ит из одних де­вя­ток. Тогда число n крат­но 9 и сумма его цифр, зна­чит, тоже. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку 2017 не де­лит­ся на 9.

Оста­лось при­ве­сти при­мер числа сумма цифр ко­то­ро­го равна 2. По­сколь­ку мы можем по­ло­жить где де­вят­ка по­вто­ря­ет­ся 224 раза. Дей­стви­тель­но, в этом слу­чае

Ответ: 2.

If n is a single digit number then if it is a two digits number then if a three digits number  — then and if a four digits number  — then Since hence n must be a four digits number and (because of this)

Since all numbers from 1953 to 1989 have 19 in their decimal representation, then   — Numbers from 1953 to 1959 cannot be roots of the equation because for these numbers but Let us consider numbers from 1960 to 1969. Since the decimal representation of any of these numbers is 196k (where k is a decimal digit) then and (if the equation has a root in this range) It implies that k can get values from 4 to 9, but (as it follows from the table below) none of these values fits the equation:

k	4	5	6	7	8	9
	1969	1968	1967	1966	1965	1964
196k	1964	1965	1966	1967	1968	1969

Let us consider the last remaining interval from 1970 to 1979. Since the decimal representation of any of these numbers is 197k (where k is a decimal digit) then and (if the equation has a root in this range)

It implies that k can get values from 0 to 2, all three options are presented in the table below:

k	0	1	2
	1972	1971	1970
197k	1970	1971	1972

It follows from the table that is the unique solution of the equation

Оста­лось рас­смот­реть числа от 1970 до 1979. Для числа n, име­ю­ще­го де­ся­тич­ную за­пись 197k (где k  — это де­ся­тич­ная цифра) и, если урав­не­ние имеет ре­ше­ние от 1970 до 1979,

За­ме­тим, что если n од­но­знач­ное число, то если дву­знач­ное, то если трех­знач­ное, то а че­ты­рех­знач­но, то Так как то, зна­чит, че­ты­рех­знач­ное число и, сле­до­ва­тель­но,

Но так как все числа от 1953 до 1989 со­дер­жат в своей за­пи­си 19, то Числа от 1953 до 1959 не под­хо­дят, так как для этих чисел a

Рас­смот­рим числа от 1960 до 1969. Для числа n, име­ю­ще­го де­ся­тич­ную за­пись (где k  — это де­ся­тич­ная цифра) и (если урав­не­ние имеет ре­ше­ние от 1960 до 1969)

По­это­му k может при­ни­мать зна­че­ния от 4 до 9, но один из этих ва­ри­ан­тов не под­хо­дит, как это сле­ду­ет из таб­ли­цы:

k	4	5	6	7	8	9
	1969	1968	1967	1966	1965	1964
196k	1964	1965	1966	1967	1968	1969

Оста­лось рас­смот­реть числа от 1970 до 1979. Для числа n, име­ю­ще­го де­ся­тич­ную за­пись 197k (где k  — это де­ся­тич­ная цифра) и (если урав­не­ние имеет ре­ше­ние от 1970 до 1979)

По­это­му k может при­ни­мать зна­че­ния от 0 до 2, рас­смот­рим эти ва­ри­ан­ты в сле­ду­ю­щей таб­ли­це:

k	0	1	2
	1972	1971	1970
197k	1970	1971	1972

И так,   — един­ствен­ное ре­ше­ние урав­не­ния

Ответ: 1989.

Пред­ста­вим n в виде

В раз­ря­дах, но­ме­ра ко­то­рых не крат­ны 10, будут сто­ять нули (за ис­клю­че­ни­ем, воз­мож­но, не­ко­то­рых, в ко­то­рых будут сто­ять еди­ни­цы, что мы и уви­дим далее).

Оче­вид­но, в ну­ле­вом раз­ря­де числа n² будет сто­ять еди­ни­ца. Сла­га­е­мые, со­от­вет­ству­ю­щие никак не по­вли­я­ют на цифру, сто­я­щую в 10-м раз­ря­де. Ана­ло­гич­но, сла­га­е­мые, со­от­вет­ству­ю­щие для вся­ко­го на­ту­раль­но­го не по­вли­я­ют на цифру, сто­я­щую в -м раз­ря­де. Оста­лось под­счи­тать, сколь­ко сла­га­е­мых со­от­вет­ству­ют вся­ким для каж­до­го из этих m. Не­труд­но убе­дить­ся, что в 10-м раз­ря­де будет сто­ять цифра 2, в 20-м  — цифра 3 и т. д. до 90-го раз­ря­да, со­от­вет­ству­ю­ще­го по­сколь­ку число 9 пред­став­ля­ет­ся в виде суммы двух целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел спо­со­ба­ми  — зна­чит, в 90-м раз­ря­де будет сто­ять ноль, а в 91-м  — еди­ни­ца. Ана­ло­гич­но, в 100-м раз­ря­де будет сто­ять еди­ни­ца, как и в 101-м, по­то­му что число 10 пред­ста­ви­мо в виде спо­со­ба­ми (i, j  — целые не­от­ри­ца­тель­ные числа). Оста­лось пред­ста­вить каж­дое из на­ту­раль­ных чисел от 11 до 20 в виде суммы двух целых не­от­ри­ца­тель­ных чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 10.

Итак, сумма цифр числа n² равна

Ответ: 94.

Let's represent n as

The digits which numbers are not multiples of 10, will contain zeros (except, perhaps, some which we will see later). Obviously, the zero position of the number n² will contain one. The terms corresponding to will not affect the 10th digit in any way. Similarly, the terms corresponding to for any positive integer will not affect the digit in the 10m-th position. It remains to calculate how many terms correspond to each for each of these m. It is easy to make sure that the 10th digit will contain digit 2, the 20th  — digit 3, etc. up to the 90th position, corresponding to since the number 9 is represented as a sum of two non-negative integers in 10 ways  — that means that in the 90th position there will be zero, and in 91-st there will be digit «1». Similarly, in the 100 th position there will be «1», as in the 101 st, because the number 10 can be represented as in 11 ways (i, j are non-negative integers). It remains to represent each of the integers from 11 to 20 as a sum of two non-negative integers not exceeding 10.

So, the sum of the digits of the number n² is equal to

Чтобы по­нять, как устро­е­на дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность, вы­пи­шем не­сколь­ко пер­вых чле­нов. Сна­ча­ла в по­сле­до­ва­тель­но­сти идут од­но­знач­ные числа Далее  — дву­знач­ные:

Потом трех­знач­ные

Какая же тут за­ко­но­мер­ность? По­ду­ма­ем, сколь­ко чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти могут иметь ровно k зна­ков.

Впер­вые k-знач­ное число может по­явить­ся в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти лишь в ре­зуль­та­те опе­ра­ции

(пе­ре­ста­нов­ка цифр не тре­бу­ет­ся). Далее, мы утвер­жда­ем, что у от каж­до­го сле­ду­ю­ще­го k знач­но­го числа сумма цифр на 1 боль­ше, чем у преды­ду­ще­го. В самом деле, пе­ре­ста­нов­ка цифр не ме­ня­ет их сумму, а при до­бав­ле­нии 1 сумма цифр уве­ли­чи­ва­ет­ся на 1 все­гда, кроме слу­чая, когда по­след­ней циф­рой была де­вят­ка. Но в за­пи­си всех чисел в нашей по­сле­до­ва­тель­но­сти цифры рас­по­ло­же­ны по убы­ва­нию, и если по­след­няя цифра  — де­вят­ка, то это число со­сто­ит из одних де­вя­ток и тогда сле­ду­ю­щий член по­сле­до­ва­тель­но­сти  — -знач­ное число.

Таким об­ра­зом, суммы цифр по­сле­до­ва­тель­ных k-знач­ных чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равны т. е. по­сле­до­ва­тель­ность со­дер­жит ровно -знач­ных чисел.

Оста­лось под­счи­тать ответ. Мы нашли 9 од­но­знач­ных чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти, дву­знач­ных, трех­знач­ных и т. д., чле­нов с 2016 зна­ка­ми. Сле­до­ва­тель­но, номер пер­во­го 2017-знач­но­го члена по­сле­до­ва­тель­но­сти равен

Ответ: наи­мень­шее такое число n равно

Пусть где a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀  — не­ко­то­рая пе­ре­ста­нов­ка чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9. Тогда

Если A  =  B, то

от­ку­да сле­ду­ет, что a₁ + a₁₀ де­лит­ся на 9. Одна из двух раз­лич­ных цифр a₁, a₁₀ не­ну­ле­вая, по­это­му и то есть и, сле­до­ва­тель­но, Зна­чит,

Вспом­ним, что a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀  — не­ко­то­рая пе­ре­ста­нов­ка чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9, по­это­му сумма всех цифр a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀ равна   — нечётна. Тогда

сле­до­ва­тель­но, цифра чётна, а цифра a₁  =  9−a₁₀  — нечётна.

Ответ: нет.

Обо­зна­чим x  — ис­ко­мое число, s  — сумма его цифр. Тогда Сле­до­ва­тель­но, x де­лит­ся на­це­ло на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9, число s де­лит­ся на 9. Так как ис­ко­мое число четырёхзнач­ное, то для s воз­мож­ны 4 ва­ри­ан­та: Для каж­до­го со­от­вет­ствен­но, на­хо­дим: Под­хо­дя­щее:

Ответ: 3564.

Обо­зна­чим x  — ис­ко­мое число, s  — сумма его цифр. Тогда Сле­до­ва­тель­но, x де­лит­ся на­це­ло на 3. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 3, число s де­лит­ся на 3. Но тогда x де­лит­ся на 9. По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 9, s де­лит­ся на 9. Так как ис­ко­мое число пя­ти­знач­ное, то для s воз­мож­ны 5 ва­ри­ан­тов: Для каж­до­го s, со­от­вет­ствен­но, на­хо­дим: Пер­вое и по­след­нее  — не пя­ти­знач­ные, у чет­вер­то­го сумма цифр не равна 36. Под­хо­дя­щие:

Ответ: 37 179.

Пусть где числа за­пи­сы­ва­ют­ся толь­ко ну­ля­ми и трой­ка­ми. Сумма цифр числа M равна и де­лит­ся на 3. Тогда

где числа за­пи­сы­ва­ют­ся толь­ко ну­ля­ми и еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку со­дер­жит де­вят­ку, на­и­ме­ны­шее ко­ли­че­ство сла­га­е­мых в этой сумме равно 9. Эти сла­га­е­мые легко на­хо­дят­ся для числа 259 (). Умно­жая на три, по­лу­чим: Те­перь «пе­ри­о­ди­че­ским» по­вто­ре­ни­ем этой за­пи­си по­лу­ча­ем:

Ответ: 9 сла­га­е­мых.

По при­зна­ку де­ли­мо­сти на 3 и на 9 числа n и s(n) либо оба де­лят­ся на 3 (на 9), либо оба не де­лят­ся на 3 (со­от­вет­ствен­но, на 9). Рас­смот­рим сна­ча­ла пер­вый слу­чай, когда n и s(n) де­лят­ся на 3. Тогда про­из­ве­де­ние де­лит­ся на 9. Во вто­ром слу­чае n и s(n) не де­лят­ся на 3, и тогда про­из­ве­де­ние не де­лит­ся на 3. Од­на­ко число 20 222 022 де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9, т. к. сумма цифр этого числа равна 12. Зна­чит, та­ко­го n не су­ще­ству­ет.

Ответ: не су­ще­ству­ет.

Рас­смот­рим про­из­воль­ное число A, за­кан­чи­ва­ю­ще­е­ся на 31 253 125. За­ме­тим, что оно де­лит­ся на так как число

оче­вид­но, де­лит­ся на 3125, а остав­ше­е­ся A – x за­кан­чи­ва­ет­ся на во­семь нулей, то есть тоже де­лит­ся на 5⁵.

Те­перь сде­ла­ем так, чтобы сумма цифр числа A была равна в точ­но­сти 3125. Для этого до­ста­точ­но, чтобы в числе, по­ми­мо по­след­них 8 цифр, было 127 цифр 4 и 865 цифр 3.

Ответ: да.

За­ме­ча­ние. Су­ще­ству­ют и дру­гие под­хо­дя­щие при­ме­ры.

Рас­смот­рим, на­при­мер, число 6669. За­ме­тим, что сумма его цифр равна 27, а сумма цифр числа равна 9, по­это­му сумма цифр при умно­же­нии на 3 дей­стви­тель­но умень­ши­лась в 3 раза.

Ответ: да.

За­ме­ча­ние.

Поль­зу­ясь при­зна­ка­ми де­ли­мо­сти на 3 и 9, не­слож­но убе­дить­ся, что под­хо­дя­щее число долж­но де­лить­ся на 9, причём его сумма цифр долж­на быть не мень­ше 27. Кроме 6669 су­ще­ству­ют и дру­гие под­хо­дя­щие числа: на­при­мер, 36 675 или 3 3333 336.

За­ме­тим, что

где Ана­ло­гич­но,

где Тогда

Зна­чит, a + b целое, при­чем так как и От­сю­да а ответ равен 2024.

В общем слу­чае  —

Ответ: 2024.

Легко за­ме­тить, что

По­это­му ре­ше­ние не может быть боль­ше 2005. Но тогда не может быть боль­ше 28.

По­это­му ре­ше­ние не может быть мень­ше 1984. Далее пе­ре­бор (его можно за­мет­но со­кра­тить, если найти оста­ток от де­ле­ния на 9).

Ответ: наи­мень­шее на­ту­раль­ное число n, ко­то­рое де­лит­ся на 2012 − S(n) равно 1987.