Всего: 44 1–20 | 21–40 | 41–44
Добавить в вариант
Найдите все натуральные числа, равные сумме квадратов своих цифр.
Предположим, что есть четырехзначное число, которое равно сумме квадратов своих цифр. Наименьшее четырехзначное это 1000, наибольшая сумма квадратов цифр равна
Из этого следует, что такое число должно иметь от одного до трех знаков. Рассмотрим 3 случая:
1 случай: предположим, что число трехзначное. Представим его в виде
где a, b и c — цифры. Тогда:
Все три слагаемых неотрицательны, их сумма равна 0, значит, все они равны 0. Но a, b и c — цифры, а значит, натуральные или 0, но а не равно 0, так как это первая цифра, значит, обязательно 
должно быть равно 0. Это возможно только если 
но a — цифра, значит, такого трехзначного числа не существует.
2 случай: предположим, что существует такое двузначное число. Представим его в виде
где a, b и c — цифры.
Тогда:
Оба слагаемых неотрицательны и их сумма равна 0 . Но a и b — цифры, а значит, натуральные или 0, но а не равно 0 , так как это первая цифра, значит, обязательно 
должно быть равно 0. Это возможно только если 
но a — цифра, значит, такого двузначного числа не существует.
3 случай: предположим, что это однозначное число. Любое однозначное число меньше своего квадрата, кроме 1. Число 1 подходит.
Из трёх случаев получаем, что подходит только ответ 1.
Ответ: 1.
Найдите все натуральные числа, равные сумме квадратов своих цифр.
Единственное такое число — 1. Прежде всего, так как каждая цифра меньше 10, то квадрат любой цифры, кроме последней, меньше её вклада в величину числа. Поэтому заведомо бессмысленно рассматривать многозначные числа.
Возьмем числа от 1 до 10 и проанализируем результаты:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
Анализируя полученные числа видно, что квадрат числа не равен самому числу 
Также комбинация этих чисел не равна сумме квадратов этих самых чисел 
Добавление нулей 
не влияет на результат и не равно квадрату числа его составляющего. Рассмотрим любое число; например 456. Разобьём его на число сотен, десятков и единиц 
Из выше сказанного видно, что нули не влияют на результат 
но также и сумма квадратов этих чисел не равна исходному числу. Таким образом, чтобы число рассмотреть, его можно представить как число единиц, десятков, сотен и т. д. А сумма их квадратов не будет равна самим числам, как было показано выше. Таким образом, условию удовлетворяет число 1.
Ответ: 1.
Катя нашла наименьшее из натуральных чисел, у которых сумма цифр равна 2007. Чему равна сумма цифр следующего за ним числа?
Чтобы число было наименьшим, нужно чтобы в нем было как можно меньше цифр. Наименьшее количество цифр мы можем получить, используя в его записи наибольшие цифры. Наибольшая цифра — 9. Чтобы сумма цифр была равна 2007, нужно использовать 223 девятки.
Меньшее число получить удастся, если взять
Ответ: 1.
Найдите наименьшее натуральное число такое, что если из него вычесть сумму его цифр, то получится число 12357.
Ясно, что искомое число X должно быть пятизначным. Так как сумма цифр пятизначного числа не превосходит 45, то 
Но отсюда следует, что сумма первых трёх цифр X не превосходит 7, поэтому сумма всех цифр X не превосходит 25. Следовательно, 
значит, число X начинается цифрами 123 . Пусть 
Отсюда получаем уравнение
Никаких ограничений на b нет, поэтому минимально возможное число, удовлетворяющее условию, есть 12370.
Ответ: 12370.
Наверх