РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5954 Добавить в вариант

Пусть $\sum левая круглая скобка n правая круглая скобка$ обозначает сумму цифр числа n. Найдите наименьшее трехзначное n, такое, что

$\sum левая круглая скобка n правая круглая скобка =\sum левая круглая скобка 2n правая круглая скобка =\sum левая круглая скобка 3n правая круглая скобка =\ldots=\sum левая круглая скобка n в квадрате правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим искомое число $\overlinea b c.$ Заметим, что это число не меньше 101 (т. к. 100 не подходит). Следовательно,

$101 умножить на \overlinea b c=\overlinea b c 00 плюс \overlinea b c$

тоже имеет такую же сумму цифр. Но у этого числа последние цифры, очевидно, b и c, следовательно, сумма остальных цифр должна быть равна a. Следовательно, $\Sigma левая круглая скобка \overlinea b c плюс a правая круглая скобка =a.$ Если $a меньше 9,$ то $\overlinea b c плюс a$   — трехзначное число, первая цифра которого не меньше a, что приводит к противоречию, т. к. вторая и третья цифра не могут быть нулями. Таким образом, $a=9$ и

$\overlinea b c плюс a меньше или равно 999 плюс 9=1008.$

Поэтому $\overlinea b c плюс a=\overline100 d.$ Но $\Sigma левая круглая скобка \overline100 d правая круглая скобка =a=9,$ следовательно, $d=8,$ откуда $\overlinea b c=999.$

Ответ: 999.

Олимпиада Покори Воробьевы горы!, 9 класс, 1 тур (отборочный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Суммы и произведения, Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Помощь