РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7433 Добавить в вариант

Десятичная запись натурального числа N содержит каждую цифру от 0 до 9 ровно один раз. Обозначим через А сумму пяти двузначных чисел, составленных из первой и второй, третьей и четвёртой,…, девятой и десятой цифр N, а через В  — сумму четырёх двузначных чисел, составленных из второй и третьей, четвёртой и пятой,…, восьмой и девятой цифр N. Оказалось, что А равно В, может ли N начинаться с чётной цифры?

Спрятать решение

Решение.

Пусть $N=\overlinea_1 a_2 \ldots a_8 a_9 a_10,$ где a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀  — некоторая перестановка чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9. Тогда

$A=\overlinea_1 a_2 плюс \overlinea_3 a_4 плюс \ldots плюс \overlinea_9 a_10=10 левая круглая скобка a_1 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_10 правая круглая скобка ,$ $A=\overlinea_1 a_2 плюс \overlinea_3 a_4 плюс \ldots плюс \overlinea_9 a_10=$
$=10 левая круглая скобка a_1 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_9 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_10 правая круглая скобка ,$ $B=\overlinea_2 a_3 плюс \overlinea_4 a_5 плюс \ldots плюс \overlinea_8 a_9=10 левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a_3 плюс a_5 плюс \ldots плюс a_9 правая круглая скобка .$

Если A  =  B, то

$10 a_1 плюс 9 левая круглая скобка a_3 плюс \ldots плюс a_9 правая круглая скобка плюс a_10=9 левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 правая круглая скобка ,$

откуда следует, что a₁ + a₁₀ делится на 9. Одна из двух различных цифр a₁, a₁₀ ненулевая, поэтому $a_1 плюс a_10 больше или равно 0 плюс 1=1$ и $a_1 плюс a_10 меньше или равно 8 плюс 9=17,$ то есть $1 меньше или равно a_1 плюс a_10 меньше или равно 17$ и, следовательно, $a_1 плюс a_10=9.$ Значит,

$a_1 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_9 плюс 1=a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8.$

Вспомним, что a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀  — некоторая перестановка чисел 0, 1, 2, ..., 8, 9, поэтому сумма всех цифр a₁, a₂, ..., a₈, a₉, a₁₀ равна $0 плюс 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 9=45$   — нечётна. Тогда

$a_1 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_9 плюс a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 плюс a_10 плюс 1=46=2 левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 правая круглая скобка плюс a_10,$ $a_1 плюс a_3 плюс \ldots плюс a_9 плюс a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 плюс a_10 плюс 1=$
$=46=2 левая круглая скобка a_2 плюс a_4 плюс \ldots плюс a_8 правая круглая скобка плюс a_10,$

следовательно, цифра $a_10$ чётна, а цифра a₁  =  9−a₁₀  — нечётна.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Доказательство того, что a₁+a₁₀ делится на 9: 2 балла.

Доказательство того, что a₁ + a₁₀ = 9: 2 балла.

Доказательство отсюда того, что цифра a₁₀ чётна, а цифра a₁ — нечётна: 3 балла.

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (закл.), 2022 год

Классификатор: Алгебра: числа. Сумма цифр числа

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь