Поиск
?
Всего: 83 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–83
Добавить в вариант
Вычислить значение выражения 
где b — сумма всех различных чисел, полученных из числа a = 987 654 321 путем циклических перестановок его цифр (при циклической перестановке все цифры числа, кроме последней, сдвигаются на разряд вправо, а последняя — перемещается на первое место).
включая само число a, в каждом разряде получим сумму всех его цифр 
принимает наибольшее возможное значение?
Исследование функции 
Критические точки: 
локальный максимум, в 
—
и 
2) 
и перепишем исходное выражение: 
функция f(t) имеет локальный максимум, 
В точке 
функция f(t) имеет локальный минимум, 
Найдем значение функции f(t) на концах отрезка: 
и 
В результате получаем область значений функции 
Ей принадлежат два целых числа 
и 
Это значение достигается при одном значении 
Тогда 
Тогда 
то получаем неравенство на k: 
и 
В первом случае 
тогда 
является решением. Во втором случае 
тогда 
является решением. 
является результатом одной из четырех арифметических операций 
для некоторых x и y. Найти все допустимые для этого пары (x; y).
то 
a 
но такого числа нет среди предложенных. Аналогично, если 
то 
и 
a 
а такого числа нет. Произведение 
никогда не равно 2, поскольку при 
и 
имеем 
тогда 
Имеем 
Тогда 
Имеем 
Тогда 
и 
имеет период 
то есть
это равенство выполнено и поэтому в дальнейшем анализе мы можем не обращать внимание на это значение. 
рационально. Отсюда следует, что существует значение x, для которого рассматриваемые функции не обращаются в ноль (достаточно взять 
где y является иррациональным числом). Следовательно, условие задачи равносильно равенству 
или 
и, поэтому 
должно быть нечетным делителем числа 15, то есть 
иррационально, то значение x не является нулем первых двух функций, входящих в произведение в левой части последнего равенства. Таким образом, это равенство равносильно соотношению 
Решая это уравнение, находим 
является 2π.
если x, y и z — неотрицательные числа, для которых 
Если 
то 
—
поскольку треугольник 
имеет большую высоту, чем треугольник 
Тогда 
и тогда при x, y, z — не достигается максимум. Аналогично доказывается, что в точке максимума 
Если 
то 
достигается при 
(ОДЗ), 
и длину дуги окружности, на которую он опирается, равную так же 
и 
и 
и 
причем на них достигается наибольшее значение функции y(x), 
равна 3. Какие наибольшее и наименьшее целые значения может принимать сумма их косинусов?
до 
значит, 
а сумма пяти синусов и пяти косинусов принимает значения от 5 до 
что чуть больше 7. Вычитая 3, получаем наименьшее и наибольшее возможные целые значения суммы: 2 и 4 соответственно.
и косинусы, равные 
На доске написана функция 
Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных x некоторой константе c. Чему может равняться c?
и 
с целыми коэффициентами. Доказательство индукцией по числу шагов: исходная функция имеет такой вид; производная многочлена с целыми коэффициентами - многочлен с целыми коэффициентами; аналогичное верно для суммы и произведения. При 
Запишем на доску 
Суммируя такие функции, получаем все чётные константы. 
и 
с целыми коэффициентами и нулевым свободным членом. При 
остаются лишь члены с косинусом (равным 1). Коэффициенты при чётных степенях косинуса чётны, а при нечётных либо иррациональны, либо равны нулю. Целочисленное значение получится, если сумма коэффициентов при нечётных степенях равна 0, но тогда значение чётно, что и требовалось доказать.
если 
Найдите 
Если возможных ответов несколько, запишите их через точку с запятой.
за t и получим квадратное уравнение на t: 
откуда 
полученное при решении квадратного уравнения получаем итоговый ответ.
Вычислите косинусы этих углов.
неравенства 
и 
равносильны; этот факт, являющийся следствием монотонности функции, мы для краткости будем называть 
и 
откуда 
Косинус каждого из этих углов равен 
—
имеем 
и 
Найти значение выражения 
Всего: 83 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–83
и
также является рациональным числом.
то 
Следовательно, 
—
то
Следовательно,