РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7195 Добавить в вариант

Найти наименьшую длину отрезка числовой оси, содержащего три различных решения уравнения

$косинус 2 x минус синус 2 x минус \ctg 2 x умножить на синус x плюс синус x=0 .$

Спрятать решение

Решение.

Преобразование:

$синус 2 x умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка минус синус x умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка =0 \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка =0 \Rightarrow синус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка =0.$ $синус 2 x умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка минус синус x умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка =0 \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка синус 2 x минус синус x правая круглая скобка =0 \Rightarrow$
$\Rightarrow синус x умножить на левая круглая скобка 2 косинус x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \ctg 2 x минус 1 правая круглая скобка =0.$

Множество решений уравнения: $синус x не равно q 0$ (ОДЗ),

$система выражений \ctg 2 x=1, косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . \Rightarrow система выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи m, конец системы . k, m принадлежит Z .$

Для удобства изобразим это множество на тригонометрическом круге. Наименьшая дуга секторов, содержащих три решения, соответствует сектору AOB или BOC. Каждый из этих секторов имеет угол $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и длину дуги окружности, на которую он опирается, равную так же $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $L= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Олимпиада Росатом, 11 класс, 2 этап (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Задачи о тригонометрических функциях, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь