Всего: 83 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–83
Добавить в вариант
Найти наибольшее значение выражения
Заметим, что для любых a, b и c выполняются неравенства
(это неравенство равносильно 
или 
и
тогда
Значит,
При 
достигается равенство:
Таким образом, наибольшее значение выражения 
достигается, например, при 
то есть
Ответ: 4,5.
Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях 1−2 балла.
Решение получено, но сделаны существенные ошибки, или в решении имеются существенные пробелы — 3−5 баллов.
Приведено решение, имеющее пробелы или неточности, или в результате арифметической ошибки получен неверный ответ — 6−13 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 14−15 баллов.
Для функции 
найти производную 2019-го порядка 
Запишем последовательность:
Тогда,
Ответ: 
Найдите область определения и множество значений функции
Поскольку
то 
где 
Область определения
так как 
следовательно, 
Величина t на области определения ограничена значениями 
(так как 
возрастает вместе с 
Далее, исследуя функцию y(t), получаем точку минимума 
и соответствующее значение 
(см. аналогичное решение в задаче 2). Отсюда следует результат.
Ответ: область определения 
множество значений 
множество значений Найти наибольшее значение выражения
Заметим, что для любых a, b и c выполняются неравенства
(это неравенство равносильно или 
и
тогда
Значит,
При достигается равенство:
Таким образом, наибольшее значение выражения достигается, например, при 
то есть
Ответ: 4,5.
Верный ответ приведен без обоснования или построен на некорректных основаниях 1−2 балла.
Верно определен ход решения, но решение не доведено до ответа, или в решении сделаны ошибки — 3−8 баллов.
Приведено решение, имеющее небольшие пробелы или неточности, или сделана арифметическая ошибка — 9−11 баллов.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 11−12 баллов.
Найти наибольшее значение выражения
Область определения неравенства ограничивается условиями 
и 
Заметим, что 
для любых положительных u, так как это неравенство равносильно
причем равенство достигается при 
Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения 
Правая часть уравнения не больше 16, следовательно, равенство возможно только при условии, что и левая, и правая части уравнения равны 16. Это означает, что
то есть
где 
Ответ: 
где 
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
где Решить уравнение
Область определения неравенства ограничивается условиями и 
Заметим, что 
для любых положительных u, так как это неравенство равносильно
причем равенство достигается при
Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения
Правая часть уравнения не больше 16, следовательно, равенство возможно только при условии, что и левая, и правая части уравнения равны 16. Это означает, что
то есть
где
Ответ: 
Для функции 
найти производную 2019-го порядка 
Заметим зависимость:
Тогда,
Ответ: 
Для функции 
найти производную 2018-го порядка 
Заметим зависимость:
Тогда,
Ответ: 
Решить уравнение
Область определения неравенства ограничивается условиями 
и
Заметим, что для любых положительных u, так как это неравенство равносильно
причем равенство достигается при
Таким образом, наименьшее значение левой части уравнения
Правая часть уравнения не больше 16, следовательно, равенство возможно только при условии, что и левая, и правая части уравнения равны 16. Это означает, что
то есть
где 
Ответ: 
Найдена основная идея решения, но решение не доведено до конца или содержит грубые ошибки, или ответ получен, но не приведено обоснование — 1−2 балла.
Найдена основная идея решения, но решение содержит некоторые пробелы или неточности — 3−4 балла.
Приведено полное логически обоснованное решение и получен верный ответ — 5 баллов.
Найти значения выражения A, если
Преобразуем выражения A по формулам приведения:
Преобразуем выражение Получим:
Тогда
Ответ: 
Найти значение выражения A, если 
и
Преобразуем выражение по формулам приведения:
Возведем обе части выражения 
во вторую степень:
Из формулы 
получим
тогда 
Ответ: 
Существует ли такое действительное α, что оба числа 
и 
рациональны?
Предположим, от противного, что для некоторого α выполняется: 
и 
где a, b — рациональные числа. Тогда
Возводя в квадрат и складывая эти соотношения, получим
Если 
от отсюда уже получается противоречие, так как в левой части рациональное число, а в правой — иррациональное. Значит, 
и на самом деле мы имеем два уравнения и 
Вычитая эти уравнения, получим 
Но функция 
принимает наибольшее значение 
при 
(в этом можно убедиться, исследуя функцию с помощью производной или преобразовав данное выражение через вспомогательный угол). Таким образом, получаем противоречие (левая часть оказалась меньше правой).
Ответ: не существует.
| Символы-Баллы | Правильность (ошибочность) решения |
|---|---|
| +20 | Полное верное решение |
| +.16 | Верное решение. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение |
| ±12 | Решение в целом верное, но содержит ошибки, либо пропущены случаи, не влияющие на логику рассуждений |
| +/2 10 | Верно рассмотрен один (более сложный) из существенных случаев, верно получена основная оценка |
| ∓8 | Доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи |
| −.4 | Рассмотрены только отдельные важные случаи или имеются начальные продвижения |
| −0 | Решение неверное, продвижения отсутствуют |
| 0 | Решение отсутствует (участник не приступал) |
Если в задаче два пункта, то только за один решенный пункт максимальная оценка 10 баллов, а другие (промежуточные) оценки соответствуют половинкам баллов приведенной таблицы. Рекомендуется сначала оценивать задачу в символах («плюс-минусах»); при необходимости оценку в символах можно дополнить значком–стрелкой вверх или вниз, что скорректирует соответствующую оценку на один балл. Например, символ ±↑ будет соответствовать 13 баллам.
Докажите, что уравнение
имеет по крайней мере 8000 корней, принадлежащих отрезку 
Имеем
На отрезке 
функция 
принимает только значения из отрезка
Поэтому (в силу непрерывности всех упомянутых функций) на каждом отрезке монотонности функции
длина которого равна полупериоду это й функции, то есть 
уравнение имеет по крайней мере один корень (на самом деле ровно один, но для строгого доказательства нужны оценки производных). В отрезок таких отрезков умещается по крайней мере
корней.
Существует ли функция f, определенная на отрезке [−1; 1] которая при всех действительных x удовлетворяет равенству
Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя 
вместо x в данное равенство, получаем
Значит, 
при всех x, поэтому 
при всех 
то есть функция f четная.
С другой стороны, подставляя в исходное равенство 
вместо x, получим
а поскольку f четная, то 
поэтому
Вычитая это равенство из исходного, получаем 
при всех x. Противоречие.
Ответ: нет, не существует.
Комментарий.
Отметим, что если равенство имеет вид
то удовлетворяющая ему при всех x функция существует, и найти ее можно следующим образом. Подставляя 
вместо x, получаем
откуда находим
Таким образом,
Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному равенству при всех действительных x.
Найдите все значения, которые может принимать выражение 
при условии 
Заметим, что 
тогда и только тогда, когда существует некоторое 
такое, что 
Тогда выражение из условия приобретает вид
Разберём несколько случаев:
1) при 
тогда 
и 
a
следовательно, при 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
2) при 
тогда 
и a
следовательно, при 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
3) при 
тогда и 
a
следовательно, при 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
4) при 
тогда 
и 
a
следовательно, при 
выражение (*) принимает все значения из промежутка 
Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение (*) при принимает все значения из промежутка 
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Найдите все значения, которые может принимать выражение 
при условии
Заметим, что тогда и только тогда, когда существует некоторое такое, что Тогда выражение из условия приобретает вид
Разберём несколько случаев:
1) при тогда и a
следовательно, при выражение (*) принимает все значения из промежутка 
2) при тогда и a
следовательно, при выражение (*) принимает все значения из промежутка 
3) при тогда и a
следовательно, при выражение (*) принимает все значения из промежутка 
4) при тогда и a
следовательно, при выражение (*) принимает все значения из промежутка 
Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение (*) при принимает все значения из промежутка 
Ответ: 
| Критерии оценивания | Балл |
|---|---|
| Верное решение без существенных недочетов | + |
| В целом задача решена, хотя и с недочетами | + − |
| Задача не решена, но есть заметное продвижение | − + |
| Задача не решена, заметных продвижений нет | − |
| Задача не решалась | 0 |
Доказать, что 
если 
и 
Найдем разность A и B. Получаем
Так как 
то
Таким образом, 
то есть 
Что требовалось доказать.
При каких целых отрицательных n функция f, заданная равенством
По определению периода при любом значении x должно выполняться равенство
Значит, оно должно выполняться и при 
В этом случае приходим к уравнению
Учитывая, что 
при целых отрицателыных n, приходим к выводу, что выполняется равенство
что выполняется только при 
где k — целое число. Заметим, что 
а, следовательно, среди делителей числа 175 есть только два квадрата целых чисел: квадраты чисел 1 и 5. Но нас интересуют только целые отрицательные значения n. Значит, 
Подставляя эти значения в уравнение (1), убеждаемся, что в обоих случаях получаете тождество.
Ответ: 
Найти x, при котором выражение
Перепишем выражение в виде
и введем обозначение 
тогда выражение преобразуется к виду
Минимальное значение этого выражения равно нулю, оно достигается при 
и 
Получаем уравнения 
Ответ: 
Наверх