РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Класс: 10 11 7 9
Атрибут

Всего: 174 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Тип 21 № 2 Добавить в вариант

Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B₁. На лучах AB и CB отметили точки A₀ и C₀ соответственно так, что AA₀ = AC = CC₀. Докажите, что точки A₀, C₀, B₁ лежат на одной прямой.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильное решение.	4
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка приведено правильное решение.	3
Доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	2
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 3 Добавить в вариант

Каждый ход шахматного коня  — перемещение на одну клетку по горизонтали и две по вертикали, либо наоборот  — одну по вертикали и две по горизонтали. (На рисунке справа конь, отмеченный буквой К, может за один ход переместиться в любую из затемнённых клеток.)

В произвольной клетке прямоугольной доски размером 2 × 2016 клеток стоит шахматный конь. Перемещаясь по описанному правилу (и не выходя при этом за края доски), он может из этой клетки попасть в некоторые другие клетки доски, но не во все. Какое наименьшее количество клеток нужно добавить к доске, чтобы конь мог из любой клетки доски попасть во все остальные? (Добавление клетки происходит так, чтобы она имела общую сторону с одной из уже имеющихся. Добавлять можно любое количество клеток, получившаяся при этом доска не обязательно должна иметь прямоугольную форму).

Решение.

Занумеруем клетки как показано на рисунке 1. Конь может из любой клетки попасть в любую клетку с таким же номером, и не может попасть в другие.

Таким образом, все клетки разбились на 4 множества, так что конь не может перескочить из одного множества в другое, но может свободно перемещаться внутри одного множества.

Добавим две клетки как на рисунке 2. Докажем, что теперь конь может попасть из любой клетки в любую другую. Клетка А соединяет клетки, отмеченные розовым цветом, т. е. через ней можно из множества 1 перескочить в множество 4. (Находясь в любой клетке с номером 1, можно прийти в розовую клетку с номером 1, затем через A попасть в розовую клетку с номером 4, и из ней в любую клетку с номером 4. В итоге из любой клетки с номером 1 можно с помощью А попасть в любую клетку с номером 4.)

Клетка В соединяет клетки, отмеченные зелёным, т. е. через ней можно из любого из множеств 2, 3, 4 перескочить так же в любое из этих множеств.

В итоге, сочетая клетки A, B, можно из любого множества попасть в любое другое. Например чтобы попасть из множества 1 в множество 2, вначале с помощью А попадаем из 1 в 4, затем с помощью В попадаем из 4 в 2.

Осталось убедиться, что одной клетки не хватит. Из рисунка 3 видно, что все добавляемые клетки разбиваются на два вида: в клетки А можно попасть не больше чем из 3 клеток доски, в клетки В можно попасть из 4-х клеток, но среди них всегда есть две из одного множества (отмеченные одинаковой цифрой). Т. е. клетки, в которую можно попасть из всех 4-х множеств, не существует.

Ответ: 2.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Присутствует а), б), в).	4
Присутствует а), в), отсутствует или ошибочно б).	3
Присутствует а), б), отсутствует или ошибочно в).	2
В решении присутствует только а).	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 4 Добавить в вариант

Функция f (x), определённая при всех действительных x, является чётной. Кроме того, при любом действительном x выполняется равенство

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка = 4.$

а)  Приведите пример такой функции, отличной от константы.

б)  Докажите, что любая такая функция является периодической.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Пункт а): верный пример с проверкой всех условий и полное решение пункта б).	6
Пример функции без проверки и полное решение пункта б).	5
Полное решение пункта б) ИЛИ пример функции с проверкой и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ пример функции с проверкой и решение пункта б) с пропущенным шагом.	4
Правильный пример функции без проверки и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ правильный пример функции без проверки и решение пункта б) с пропущенным шагом.	3
Правильный пример функции с проверкой выполнения всех условий.	2
Правильный пример функции без проверки выполнения условий. Допускается пример в виде графика, если в решении дано исчерпывающее и подробное описание графика с указанием всех ключевых точек.	1
Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	6

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 5 Добавить в вариант

Петя хочет проверить знания своего брата Коли  — победителя олимпиады ”Высшая проба” по математике. Для этого Петя задумал три натуральных числа a, b, c, и вычислил x = НОД(a, b), y = НОД(b, c), z = НОД(c, a). Затем он написал на доске три ряда по пять чисел в каждом:

6, 8, 12, 18, 24

14, 20, 28, 44, 56

5, 15, 18, 27, 42

Петя сообщил Коле, что одно из чисел в первом ряду равно x, одно из чисел во втором ряду равно y, одно из чисел в третьем ряду равно z, и попросил угадать числа x, y, z. Подумав несколько минут, Коля справился с задачей, правильно назвав все три числа. Назовите их и вы. Докажите, что существует единственная такая тройка (x, y, z).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильное решение.	5
Лемма, аналогичная или равносильная лемме из приведённого выше решения, используется в рассуждениях, но никак не доказана.	4
Рассмотрена делимость на три числа.	3
Рассмотрена делимость на два числа ИЛИ сформулирована и доказана лемма, аналогичная или равносильная лемме из приведённого выше решения.	2
Рассмотрена делимость на одно число.	1
Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	5

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 6 Добавить в вариант

Таблица n × n заполняется натуральными числами от 1 до 10 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было двух одинаковых чисел. Совпадение чисел, стоящих в разных строках и столбцах, допускается. Пусть f (n)  — количество таких расстановок. Например f (1) = 10, f (11) = 0.

а)  Что больше, f (9) или f (10)?

б)  Что больше, f (5) или f (6)?

Решение.

Обозначим через S_n множество всех требуемых расстановок для таблицы n × n. Тогда f (n) по определению равно количеству элементов в множестве S_n. Введём операцию g над таблицей, заключающуюся в удалении последнего (крайнего правого) столбца и последней (крайней нижней) строки таблицы. Пример:

Очевидно, если $t принадлежит S_n,$ то $g левая круглая скобка t правая круглая скобка принадлежит S_n минус 1.$

а)  Мы докажем, что отображение $g : S_10 arrow S_9$ является инъективным (смысл термина будет разъяснён далее), и при этом его образ не покрывает всего множества S₉. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.

Утверждение 1. Пусть дана таблица $y принадлежит S_9.$ Тогда существует не более одной таблицы $x принадлежит S_10$ такой, что $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Доказательство. Будем восстанавливать таблицу x по известной таблице $y = g левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

Для наглядности изобразим обе таблицы следующим образом:

Т. е. пусть последний столбец таблицы x содержит неизвестные числа $a_1, . . . , a_9, c, а$ последняя строка содержит неизвестные числа $b_1, . . . , b_9, c.$

Число a_i должно отличаться от всех чисел в строке с номером i таблицы y. Но в любой строке таблицы y стоят 9 различных чисел из множества $1, 2, . . . 10,$ т. е. для a_i остаётся единственное возможное значение. Следовательно, все числа $a_1, . . . , a_9$ однозначно определяются по таблице y. Аналогично, рассматривая столбцы, однозначно восстанавливаем числа b_j.

Если среди восстановленных чисел $a_1, . . . , a_9$ есть одинаковые, получаем противоречие с условием, и, следовательно, таблицы x, удовлетворяющей равенству $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y,$ не

существует. Если же все a_i различны, и все b_j различны, то число c должно отличаться от них всех, и такое число тоже единственно.

Итак, если таблица x существует, то она единственна, что и требовалось.

Следствие: если $x_1, x_2 принадлежит S_10$ и $x_1 не равно x_2,$ то $g левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка принадлежит g левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка .$ (Отображение g с таким свойством в математике называется инъективным).

Утверждение 2. Существует таблица $y принадлежит S_9$ такая, что любое $x принадлежит S_10 : g левая круглая скобка x правая круглая скобка не равно y.$

Доказательство. Рассмотрим таблицу $y принадлежит S_9,$ в первой строке которой написаны подряд числа $1, 2, . . . , 9,$ а в следующих строках  — те же числа, сдвигаемые по циклу каждый раз на 1:

Восстанавливая по ней таблицу x так же, как то сделано выше, мы получаем $a_1 = a_2 = ... = a_9 = 10,$ что противоречит условию. Следовательно, искомой таблицы x не существует.

Из доказанных утверждений следует, что в множестве S₉ больше элементов, чем в S₁₀, т. е. $f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка .$

Проиллюстрируем наглядно последний шаг рассуждения. Предположим, что мы выписали в ряд все возможные таблицы $x_1, . . . , x_K$ из множества S₁₀. Рассмотрим следующую диаграмму отображения g:

В множестве S₁₀ ровно K элементов, и все они выписаны в верхнем ряду. В нижнем ряду для каждой таблицы x выписана соответствующая таблица g(x), а также построенная в утверждении 2 таблица y. Все таблицы в нижнем ряду принадлежат множеству S₉, и все они по доказанному различны. Следовательно, количество таблиц в множестве S₉ больше, чем в S₁₀.

б)  Докажем, что при отображении $g : S6arrow S5$ в каждую таблицу множества S₅ отображается более одной таблицы множества S₆. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.

Утверждение 3. Пусть дана таблица y S₅. Тогда существует не менее 4 различных таблиц $x принадлежит S_6$ таких, что $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Доказательство. Так же, как в п. а), изобразим наглядно равенство $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y$ :

Покажем, как для заданной таблицы $y принадлежит S_5$ построить не менее 4 различных таблиц x, удовлетворяющих равенству $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

В объединении первой строки и первого столбца таблицы y написано 9 чисел (необязательно все различные), по тому существует число из множества $левая фигурная скобка 1, 2, . . . , 10 правая фигурная скобка ,$ которого нет ни в первой строке, ни в первом столбце таблицы y. Положим a₁ и b₁ равными тому числу. Т. е. согласно нашему выбору a₁ = b₁.

Для $i = 2, 3, . . . 5$ будем последовательно выбирать числа a_i так, чтобы число a_i не равнялось ни одному из чисел в i-й строке таблицы y, а также не равнялось уже выбранным числам $a_1, . . . , a_i минус 1.$ Такой выбор всегда существует, т. к. "запрещёнными" оказываются всегда не более 5 + 4 = 9 чисел.

Аналогично для $j = 2, 3, . . . 5$ будем последовательно выбирать числа b_j так, чтобы число b_j не равнялось ни одному из чисел в j-м столбце таблицы y, а также не равнялось числам $b1, . . . , b_j минус 1.$

Мы изначально выбрали a₁ = b₁, поэтому среди чисел a_i, b_j, i, j = 1 . . . 5, не более 9 различных. По тому можно выбрать число c отличным от них всех, и тем самым завершить построение таблицы x. Построенная таблица x удовлетворяет всем условиям задачи и принадлежит множеству S₆, при том $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Заметим, что при выборе числа a₂ запрещёнными были не более 6 чисел (числа во второй строке таблицы y и число a₁). Поэтому имелось не менее 4 способов выбрать число a₂, и все они привели бы к различным таблицам x. Следовательно, таких таблиц x, для которых $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y,$ не менее 4, что и требовалось доказать.

Ответ: а) f (9) > f (10), б) f (6) > f (5).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение обоих пунктов.	4
В обоих пунктах доказано нестрогое неравенство.	3
Полностью решён один из пунктов.	2
В пункте а) доказано, что $f левая круглая скобка 9 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 10 правая круглая скобка$ (нестрогое неравенство).	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 32 Добавить в вариант

Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами некоторой арифметической прогрессии. Эти же три числа являются тремя (не обязательно последовательными) членами некоторой геометрической прогрессии. Приведите пример трёх таких чисел.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	4
Верное решение с небольшими недочетами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения).	3
Задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано или доказано неверно существование решения, отличного от 1.	2
Доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 33 Добавить в вариант

Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Могут ли эти же три числа оказаться тремя (не обязательно последовательными) членами геометрической прогрессии?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	4
Верное решение с небольшими недочетами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения).	3
Задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано или доказано неверно существование решения, отличного от 1.	2
Доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 21 № 34 Добавить в вариант

Два коридора высотой и шириной в 1 м идут перпендикулярно друг другу по первому и второму этажу здания. Разделяющее их перекрытие разобрано, образуя дыру 1  $*$  1 м в полу одного и потолке другого. Какова максимальная длина балки, которую можно передать из одного коридора в другой через дыру? (Балку считать негнущимся отрезком нулевой толщины. Толщина перекрытия также равна нулю, т. е. пол верхнего коридора и потолок нижнего коридора находятся в одной плоскости.)

Решение.

Пусть A и B  — концы балки, причём B  — нижний конец, который первым попадает в нижний коридор (считаем, что балку передают из верхнего коридора в нижний). Обозначим для краткости $d = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 плюс корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$   — указанную в ответе длину балки, PQRS  — квадрат, образующий дыру.

Решение будет состоять из двух частей: I  — мы покажем, как передать балку указанной в ответе длины, и II  — докажем, что балку большей длины нельзя передать никаким способом.

I. Нам понадобятся следующие дополнительные обозначения. Стена верхнего коридора, проходящая через точки Q, R, пересекается с потолком верхнего коридора по прямой a (см. рис.). Стена нижнего коридора, содержащая точки R, S, пересекается с полом нижнего коридора по прямой b. Q₁, R₁  — ортогональные проекции точек Q, R на прямую a, R₂, S₂  — ортогональные проекции точек R, S на прямую b. A₀, B₀  — точки на прямых a, b соответственно, такие, что

$\overrightarrowA_0Q_1 = \overrightarrowQ_1R_1, \overrightarrowB_0S_2 = \overrightarrowS_2R_2.$

Отрезки PA₀ и PB₀ параллельны отрезку Q₁S, поэтому точки P, A₀, B₀ лежат вдоль одной прямой, причём PA₀  =  PB₀  =   $корень из 3 .$

Перемещение балки будет состоять из следующих шагов (см. рисунки (1)  — (4) выше):

(1) Расположим балку так, чтобы её конец A лежал на прямой a, а конец B находился в точке P.

(2) Будем перемещать её конец A вдоль прямой a, так чтобы сама балка всё время проходила через точку P.

(3) Такое перемещение будем продолжать до тех пор, пока точка A не совпадёт с A₀. В этот момент балка расположится вдоль прямой A₀B₀.

(4) Затем будем двигать балку вдоль прямой A₀B₀, до тех пор, пока точка B не совпадёт с B₀.

(5) Наконец, будем двигать точку B вдоль прямой b, так, чтобы вся балка по прежнему проходила через P, до тех пор, пока вся балка не окажется в нижнем коридоре.

Ключевой факт, который нужно проверить  — что такое перемещение осуществимо, т. е. что балка всё время будет находиться целиком внутри коридоров. Очевидно, достаточно проверить его только для шагов (1)  — (3).

Проведём плоскость через прямую a и точку P. На протяжении всех шагов (1)  — (4) балка находится внутри плоскости, следовательно, можно исследовать движение балки отдельно в этой плоскости (рисунок ниже). Пусть AQ₁  =  x. Продлим прямую AP до пересечения со стеной нижнего коридора в точке X. Тогда из подобия треугольников APQ₁ и AXR₁ несложно найти $AX= дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 2 плюс x в квадрате конец аргумента .$ Производная этой функции равна $дробь: числитель: x в кубе минус 2, знаменатель: x в квадрате корень из: начало аргумента: 2 плюс x в квадрате конец аргумента конец дроби .$ Отсюда видно, что минимум функции достигается при $x= корень 3 степени из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Подставляя это значение в выражение для AX, получаем после преобразований min(AX)  =  d (напомним, d обозначает число, указанное в ответе). Таким образом, длина AX всё время не меньше длины балки (в частности при $x = 1 AX = 2 корень из 3 больше d$ ), т. е. точка B никогда не выходит за пределы отрезка AX, а значит и за пределы коридоров, что и требовалось.

II. Теперь докажем, что балку длины больше d невозможно передать из одного коридора в другой никаким способом. Пусть O  — точка балки, делящая её в отношении $AO : OB = корень 3 степени из 2 :1.$ Поскольку движение балки непрерывно, при любом способе передачи возникнет момент, когда точка O окажется в плоскости PQRS. Покажем, что в этот момент длина балки не может быть больше d.

Пусть $альфа$ и $бета$   — вертикальные плоскости, проходящие через O параллельно осям верхнего и нижнего коридора соответственно, z_A  — расстояние от A до плоскости PQRS, x_A  — расстояние от A до $альфа ,$ y_A  — расстояние от A до $бета ,$ z_B, x_B, y_B  — аналогичные расстояния для точки B. (На рисунке ниже слева изображён "вид сверху" в проекции на плоскость PQRS, плоскости и проецируются в прямые, отрезки z_A и z_B не видны, т. к. проецируются в точки A и B соответственно. Точка O находится в плоскости PQRS).

Очевидно, $z_A:z_B = x_A:x_B = y_A:y_B = корень 3 степени из 2 :1.$ Кроме того, $x_A меньше или равно 1,$ $y_B меньше или равно 1,$ $z_A меньше или равно 1.$ Тогда длина всей балки:

$AB = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 правая квадратная скобка 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x_B в квадрате плюс y_B в квадрате плюс z_B в квадрате конец аргумента = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 степени из 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_A в квадрате , знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс y_B в квадрате плюс дробь: числитель: z_A в квадрате , знаменатель: корень 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 степени из 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из левая квадратная скобка 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента =d.$ $AB = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 правая квадратная скобка 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x_B в квадрате плюс y_B в квадрате плюс z_B в квадрате конец аргумента = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 степени из 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_A в квадрате , знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс y_B в квадрате плюс дробь: числитель: z_A в квадрате , знаменатель: корень из левая квадратная скобка 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента =$
$= левая круглая скобка 1 плюс корень 3 правая квадратная скобка 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из левая квадратная скобка 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента =d.$ $AB = левая круглая скобка 1 плюс корень 3 степени из 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x_B в квадрате плюс y_B в квадрате плюс z_B в квадрате конец аргумента =$
$= левая круглая скобка 1 плюс корень 3 правая квадратная скобка 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: x_A в квадрате , знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс y_B в квадрате плюс дробь: числитель: z_A в квадрате , знаменатель: корень из левая квадратная скобка 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента =$
$= левая круглая скобка 1 плюс корень 3 правая квадратная скобка 2 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента конец дроби плюс 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из левая квадратная скобка 3 степени из 4 конец дроби конец аргумента =d.$

Ответ: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка 2 плюс корень 3 степени из: начало аргумента: 4 конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение (ответ способ протаскивания балки доказательство максимальности).	3
В задаче получен правильный ответ и показано, что балку такой длины можно передать. Однако не доказано, что балку большей длины передать нельзя.	2
Имеется правильная идея решения (алгоритм протаскивания балки через отверстие) и попытка (не доведённая до конца) составления функции, выражающей длину отрезка AX через переменную.	1
Решение, не содержащее продвижений в правильном направлении, а так же любое решение, в котором указан ответ $2 корень из 3$	0
Максимальный балл	3

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 35 Добавить в вариант

Таблица n × n заполняется натуральными числами от 1 до 2016 так, чтобы ни в одной строке и ни в одном столбце не было двух одинаковых чисел. Совпадение чисел, стоящих в разных строках и столбцах, допускается. Пусть f (n)  — количество таких расстановок. Например f (1) = 2016, f (2017) = 0.

а)  Что больше, f (2015) или f (2016)?

б)  Что больше, f (1008) или f (1009)?

Решение.

Очевидно, если $t принадлежит S_n,$ то $g левая круглая скобка t правая круглая скобка принадлежит S_n минус 1.$

а)  Мы докажем, что отображение $g : S_2016 arrow S_2015$ является инъективным (смысл термина будет разъяснён далее), и при этом его образ не покрывает всего множества S₂₀₁₅. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.

Утверждение 1. Пусть дана таблица $y принадлежит S_2015.$ Тогда существует не более одной таблицы $x принадлежит S_2016$ такой, что $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Для наглядности изобразим обе таблицы следующим образом:

Т. е. пусть последний столбец таблицы x содержит неизвестные числа $a_1, . . . , a_2015, c, а$ последняя строка содержит неизвестные числа $b_1, . . . , b_2016, c.$

Число a_i должно отличаться от всех чисел в строке с номером i таблицы y. Но в любой строке таблицы y стоят 2015 различных чисел из множества $левая фигурная скобка 1, 2, . . . 2016 правая фигурная скобка ,$ т. е. для a_i остаётся единственное возможное значение. Следовательно, все числа $a_1, . . . , a_2015$ однозначно определяются по таблице y. Аналогично, рассматривая столбцы, однозначно восстанавливаем числа b_j.

Если среди восстановленных чисел $a_1, . . . , a_2015$ есть одинаковые, получаем противоречие с условием, и, следовательно, таблицы x, удовлетворяющей равенству $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y,$ не

Итак, если таблица x существует, то она единственна, что и требовалось.

Следствие: если $x_1, x_2 принадлежит S_2016$ и $x_1 не равно x_2,$ то $g левая круглая скобка x_1 правая круглая скобка принадлежит g левая круглая скобка x_2 правая круглая скобка .$ (Отображение g с таким свойством в математике называется инъективным).

Утверждение 2. Существует таблица $y принадлежит S_2015$ такая, что любое $x принадлежит S_2016 : g левая круглая скобка x правая круглая скобка не равно y.$

Доказательство. Рассмотрим таблицу $y принадлежит S_2015,$ в первой строке которой написаны подряд числа $1, 2, . . . , 2015,$ а в следующих строках  — те же числа, сдвигаемые по циклу каждый раз на 1:

Восстанавливая по ней таблицу x так же, как то сделано выше, мы получаем $a_1 = a_2 = ... = a_2015 = 2016,$ что противоречит условию. Следовательно, искомой таблицы x не существует.

Из доказанных утверждений следует, что в множестве S₂₀₁₅ больше элементов, чем в S₂₀₁₆, т. е. $f левая круглая скобка 2015 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка .$

Проиллюстрируем наглядно последний шаг рассуждения. Предположим, что мы выписали в ряд все возможные таблицы $x_1, . . . , x_K$ из множества S₂₀₁₆. Рассмотрим следующую диаграмму отображения g:

В множестве S₂₀₁₆ ровно K элементов, и все они выписаны в верхнем ряду. В нижнем ряду для каждой таблицы x выписана соответствующая таблица g(x), а также построенная в утверждении 2 таблица y. Все таблицы в нижнем ряду принадлежат множеству S₂₀₁₅, и все они по доказанному различны. Следовательно, количество таблиц в множестве S₂₀₁₅ больше, чем в S₂₀₁₆.

б)  Докажем, что при отображении $g : S_1009arrow S_1008$ в каждую таблицу множества S₁₀₀₈ отображается более одной таблицы множества S₁₀₀₉. Отсюда будет следовать требуемое неравенство.

Утверждение 3. Пусть дана таблица y S₁₀₀₈. Тогда существует не менее 1007 различных таблиц $x принадлежит S_1009$ таких, что $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Покажем, как для заданной таблицы $y принадлежит S_1008$ построить не менее 1007 различных таблиц x, удовлетворяющих равенству $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

В объединении первой строки и первого столбца таблицы y написано 2015 чисел (необязательно все различные), по тому существует число из множества $левая фигурная скобка 1, 2, . . . , 2016 правая фигурная скобка ,$ которого нет ни в первой строке, ни в первом столбце таблицы y. Положим a₁ и b₁ равными тому числу. Т. е. согласно нашему выбору a₁ = b₁.

Для $i = 2, 3, . . . 1008$ будем последовательно выбирать числа a_i так, чтобы число a_i не равнялось ни одному из чисел в i-й строке таблицы y, а также не равнялось уже выбранным числам $a_1, . . . , a_i минус 1.$ Такой выбор всегда существует, т. к. "запрещёнными" оказываются всегда не более 1008 + 1007 = 2015 чисел.

Аналогично для $j = 2, 3, . . . 1008$ будем последовательно выбирать числа b_j так, чтобы число b_j не равнялось ни одному из чисел в j-м столбце таблицы y, а также не равнялось числам $b1, . . . , b_j минус 1.$

Мы изначально выбрали a₁ = b₁, поэтому среди чисел a_i, b_j, i, j = 1 . . . 1008, не более 2015 различных. По тому можно выбрать число c отличным от них всех, и тем самым завершить построение таблицы x. Построенная таблица x удовлетворяет всем условиям задачи и принадлежит множеству S₁₀₀₉, при том $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y.$

Заметим, что при выборе числа a₂ запрещёнными были не более 1009 чисел (числа во второй строке таблицы y и число a₁). Поэтому имелось не менее 1007 способов выбрать число a₂, и все они привели бы к различным таблицам x. Следовательно, таких таблиц x, для которых $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = y,$ не менее 1007, что и требовалось доказать.

Ответ: а) f (2015) > f (2016), б) f (1009) > f (1008).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение обоих пунктов.	4
В обоих пунктах доказано нестрогое неравенство.	3
Полностью решён один из пунктов.	2
В пункте а) доказано, что $f левая круглая скобка 2015 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 2016 правая круглая скобка$ (нестрогое неравенство).	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 36 Добавить в вариант

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильное решение.	4
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка приведено правильное решение.	3
Доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	2
Рисунок, не соответствующий условию: точки A₀ и C₀ выбраны не на лучах AB и CB, а на их продолжениях. Для такого рисунка доказана равнобедренность треугольников C₀CB₁ и A₀AB₁.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 37 Добавить в вариант

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс f левая круглая скобка 10 минус x правая круглая скобка = 4.$

а)  Приведите пример такой функции, отличной от константы.

б)  Докажите, что любая такая функция является периодической.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Пункт а): верный пример с проверкой всех условий и полное решение пункта б).	6
Пример функции без проверки и полное решение пункта б).	5
Полное решение пункта б) ИЛИ пример функции с проверкой и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ пример функции с проверкой и решение пункта б) с пропущенным шагом.	4
Правильный пример функции без проверки и нестрогое решение пункта б), основанное на симметриях ИЛИ правильный пример функции без проверки и решение пункта б) с пропущенным шагом.	3
Правильный пример функции с проверкой выполнения всех условий.	2
Правильный пример функции без проверки выполнения условий. Допускается пример в виде графика, если в решении дано исчерпывающее и подробное описание графика с указанием всех ключевых точек.	1
Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	6

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 38 Добавить в вариант

6, 8, 12, 18, 24

14, 20, 28, 44, 56

5, 15, 18, 27, 42

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Правильное решение.	5
Лемма, аналогичная или равносильная лемме из приведённого выше решения, используется в рассуждениях, но никак не доказана.	4
Рассмотрена делимость на три числа.	3
Рассмотрена делимость на два числа ИЛИ сформулирована и доказана лемма, аналогичная или равносильная лемме из приведённого выше решения.	2
Рассмотрена делимость на одно число.	1
Любое решение, не соответствующее ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	5

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 47 Добавить в вариант

В ряд выписаны цифры 987654321. Поставьте между ними ровно два знака минус так, чтобы значение полученного выражения было минимальным. (Например, при расстановке 9876 − 54 − 321 получается 9501.)

Решение · Помощь

Тип 0 № 48 Добавить в вариант

Существует ли четырехугольник, который можно разрезать на три равных треугольника двумя разными способами? Если не существует  — докажите, если существует  — постройте пример.

Решение · Помощь

Тип 0 № 49 Добавить в вариант

Болельщики Спартака говорят правду, когда Спартак выигрывает, и лгут, когда он проигрывает. Аналогично ведут себя болельщики Динамо, Зенита и Локомотива. После двух матчей с участием этих четырех команд, каждая из которых закончилась победой одной из команд, а не ничьей, из болельщиков, смотревших трансляцию, на вопрос "болеете ли вы за Спартак?" положительно ответили 200 человек, на вопрос "болеете ли вы за Динамо?" положительно ответили 300 человек, на вопрос "болеете ли вы за Зенит?" положительно ответили 500 человек, на вопрос "болеете ли вы за Локомотив?" положительно ответили 600 человек. Сколько человек болело за каждую из команд?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	3
Арифметическая ошибка, или небольшие пробелы в обосновании.	2
Правильный ответ без обоснования.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	3

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 50 Добавить в вариант

Найдите наименьшее целое положительное число, представимое в виде $20x в квадрате плюс 80xy плюс 95y в квадрате$ для некоторых целых чисел x и y. Строго обоснуйте ответ.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	2
Получен ответ без обоснования.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	2

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 51 Добавить в вариант

На доске написаны числа $1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , ... , дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби .$ Разрешается стереть любые два числа a и b и записать вместо них a + b  =  ab. После нескольких таких операций на доске осталось одно число. Чему оно может быть равно?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	2
Ответ без доказательства независимости от порядка операций.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	2

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 52 Добавить в вариант

Слова языка роботов планеты Шелезяка  — последовательности стрелочек «вверх», «вниз», «влево» и «вправо», причём две противонаправленные стрелочки не могут стоять рядом. Учитель написал на доске 1000000 слов этого языка. Четыре ученика переписывают слова к себе в тетрадь, делая следующие изменения: ученик U приписывает перед словом стрелочку вверх, а если это запрещено (слово начинается с «вниз»), то убирает это первое «вниз», ученики D, L, R делают всё то же самое, только приписывают соответственно стрелку вниз, влево или вправо, и вычёркивают первый символ, если он оказался «вверх», «вправо», «влево». Докажите, что в одной из четырёх тетрадей минимум половина (500 000) слов не будет встречаться среди слов на доске.

Решение · Помощь

Тип 0 № 53 Добавить в вариант

Дан куб, каждая грань которого – это клетчатое поле размером 2015 на 2015 клеток. В центре одной из граней стоит пешка. Данил и Максим передвигают пешку по клеткам куба. Данил может ходить только на соседнюю по стороне клетку (разрешается переходить на другую грань, если клетки соседние по стороне), а Максим может поставить пешку в любую клетку. Пешка красит за собой клетки. На закрашенную клетку пешку двигать нельзя. Изначальная клетка (центр грани) закрашена. Данил ходит первым. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре обоих?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	2
Предъявлена верная стратегия без примера разбиения куба на доминошки.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	2

Решение · Критерии · Помощь

Тип 0 № 54 Добавить в вариант

Дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁  — середины сторон BC, AC, AB соответственно. Докажите, что три прямые, проходящие через эти точки и параллельные биссектрисам противолежащих углов, пересекаются в одной точке.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	2
Написано, что AC₁A₁B₁ - параллелограмм (или один из двух аналогичных четырёхугольников). ИЛИ указано без доказательства, что a — биссектриса угла C₁A₁B₁, при этом есть верные рассуждение про гомотетию.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	2

Решение · Критерии · Помощь

Всего: 174 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …