РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 33 Добавить в вариант

Три различных положительных числа являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии. Могут ли эти же три числа оказаться тремя (не обязательно последовательными) членами геометрической прогрессии?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим геометрическую прогрессию 1, q, q², q³. Выберем q так, чтобы числа 1, q, q³ образовывали арифметическую прогрессию. Для этого нужно, чтобы выполнялось равенство

$1 плюс q в кубе =2q равносильно левая круглая скобка q в квадрате плюс q минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка q минус 1 правая круглая скобка =0.$

Один из корней данного уравнения $q= дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ При таком значении q числа 1, q, q³ удовлетворяют условию задачи.

Ответ: могут.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	4
Верное решение с небольшими недочетами (например, арифметическая ошибка, не влияющая на ход решения).	3
Задача явно сведена к решению полиномиального уравнения третьей степени или выше от знаменателя геометрической прогрессии, но не доказано или доказано неверно существование решения, отличного от 1.	2
Доказательство невозможности в случае рациональных чисел или последовательных членов геометрической прогрессии.	1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	4

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Разное. Оценка плюс пример

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь