Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
По теореме об угле между касательной и хордой имеем:
т. е. треугольник AB1C — равносторонний. Тогда AA0 = AC = AB1, т. е. треугольник A0AB1 равнобедренный. Если обозначить 
то получим:
Отсюда в частности следует, что 
т. е. точка A0 расположена внутри ∠AB1C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C0CB1 равнобедренный, и 
Сумма этих углов равна:
Учитывая, что 
получаем:
следовательно лучи B1A0 и B1C0 совпадают (рисунок справа), что и требовалось доказать.