PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
100 кг свежесобранных грибов имели влажность 99 %. Через два дня их влажность составляла 98 %. Сколько стали весить грибы?
Докажите, что 
при всех 
Найдите все такие b, при которых для любого a система неравенств 
имеет решение.
Из кучи, содержащей 1001 камень, выбросили один камень, а оставшиеся произвольно разложили на две кучи. Проделаем аналогичную операцию с любой из куч, содержащей более одного камня. Может ли после последовательного применения нескольких таких операций оказаться, что все кучи состоят из трех камней?
Пересекающиеся отрезки, параллельные сторонам единичного квадрата, делят его на четыре прямоугольника. Докажите, что произведение площадей двух не смежных прямоугольников не превосходит 
Докажите, что многочлен
не имеет отрицательных корней.
Действительные числа a, b и c таковы, что 
и 
Докажите, что 
Сколько существует различных игральных костей, т. е. кубиков, на гранях которых расставлены цифры от 1 до 6?
Сколько делителей имеет число 3600?
Докажите, что натуральное число является точным квадратом тогда и только тогда, когда число его делителей нечетно.
и 
то
эквивалентному исходному.
которое будет пересекаться с отрезком длинной 2b (являющимся решением второго неравенства), если 
(то есть если этот отрезок не помещается в «щели» между двумя лучами — рисунок).
ни при каком целом k, то 
значит, ни через какое число ходов не может оказаться, что в этой куче — три камня.
тогда 
Любой его делитель — это произведение 
где 
и 
Таким образом, имеем 5 вариантов выбора степени двойки и по три — тройки и пятерки, то есть всего 
вариантов.
то рассуждая, как в предыдущей задаче, получим, что число делителей равно 
и нечетно тогда и только тогда, когда все числа 
четные, то есть когда 
то число 
— также делитель n. Таким образом, все делители разбираются на пары 
где 
Количество делителей будет нечетным числом, если в некоторой паре два числа совпадут, то есть если 