Ре­ше­ние. Обо­зна­чив через a и b пло­ща­ди двух ча­стей квад­ра­та, по­лу­чим

Ответ:

Ре­ше­ние. Если x₁, x₂  — корни, то

Сле­до­ва­тель­но, так как x₁, x₂  — дей­стви­тель­ные числа, ис­ко­мое мно­же­ство опре­де­ля­ет­ся си­сте­мой

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. Дан­ная за­да­ча яв­ля­ет­ся про­стей­шей среди мно­же­ства задач на опре­де­ле­ние «фаль­ши­вой» мо­не­ты. Идея ре­ше­ния со­сто­ит в том, что при каж­дом взве­ши­ва­нии вы­де­ля­ет­ся та из трех групп монет, в ко­то­рой на­хо­дит­ся фаль­ши­вая. По­это­му, если монет n, а то нужно не менее взве­ши­ва­ний, чтобы в груп­пах оста­лось не более одной мо­не­ты.

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Точка с ко­ор­ди­на­та­ми яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка, концы ко­то­ро­го лежат на кри­вой тогда и толь­ко тогда, когда най­дут­ся такие числа a и b, что

Ис­клю­чая оче­вид­ное ре­ше­ние при при­хо­дим к урав­не­нию ко­то­рое раз­ре­ши­мо при

Ответ: см. рис.

Ре­ше­ние. Ответ: ца­ре­вич может на­звать 1, 10, 100.

Ре­ше­ние. В по­доб­ных за­да­чах самое глав­ное  —при­ду­мать такой спо­соб рас­суж­де­ния, ко­то­рый дает все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты ре­ше­ний (в от­ли­чие от под­бо­ра не­ко­то­ро­го ре­ше­ния). В дан­ной за­да­че за­ве­до­мо Д  =  1. по­сколь­ку при сло­же­нии может по­явить­ся лишь одна еди­ни­ца пе­ре­но­са. Далее, из по­след­не­го столб­ца видно, что число A  — чет­ное, а зна­чит, Д + Д  =  2  =  А. Для Р есть два ва­ри­ан­та  — 1 и 6. но пер­вый ис­клю­ча­ет­ся, по­сколь­ку Д  =  1, а по усло­вию раз­ным бук­вам со­от­вет­ству­ют раз­ные цифры. Далее все од­но­знач­но.

Ответ: 8126 + 8126  =  16252.

Ре­ше­ние. Всего име­ет­ся вось­ми­знач­ных чисел, среди ко­то­рых таких, в за­пи­си ко­то­рых еди­ниц нет. Эти числа еще можно под­счи­тать на мик­ро­каль­ку­ля­то­ре, но очень удоб­но при­ме­нить не­ра­вен­ство Бер­нул­ли Имен­но:

Ответ: боль­ше тех, в за­пи­си ко­то­рых име­ют­ся еди­ниц.

Ре­ше­ние. Сама фор­му­ли­ров­ка за­да­чи под­ска­зы­ва­ет идею ре­ше­ния. За­да­ча, воз­мож­но, стала бы слож­нее, если за­ме­нить  π, к при­ме­ру на число 3. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ных на ри­сун­ке пря­мо­уголь­ни­ков равна p, а из остав­ших­ся ча­стей по­лос­ки между кон­ту­ра­ми дан­ных мно­го­уголь­ни­ков можно при по­мо­щи па­рал­лель­ных пе­ре­но­сов со­ста­вить мно­го­уголь­ник, опи­сан­ный около окруж­но­сти ра­ди­у­са 1. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь этого мно­го­уголь­ни­ка не мень­ше пло­ща­ди еди­нич­но­го круга, то есть  π.

Ре­ше­ние. До­ста­точ­но по­ка­зать, что можно за­пла­тить 8, 9, 10 ко­пе­ек.

Ре­ше­ние. До­ка­за­тель­ство можно про­ве­сти по ин­дук­ции, вос­поль­зо­вав­шись тож­де­ством

За­ме­тим, од­на­ко, что здесь тре­бу­ет­ся от­лич­ная от стан­дарт­ной, но как из­вест­но, рав­но­силь­ная ей, фор­му­ли­ров­ка прин­ци­па ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции: если верно утвер­жде­ние P(1) и из того, что утвер­жде­ние P(k) верно при всех сле­ду­ет, что верно утвер­жде­ние P(k + 1), то утвер­жде­ние P(n) верно при всех на­ту­раль­ных n.